Nous aurions pu obtenir ce résultat plus directement en cherchant de combien de manières il est possible de distribuer entre les N symboles de groupes alpha, beta,… zeta, des nombres déterminés d’indices de chaque sorte, n(1) indices 1, n(2) indices 2,…., n(m) indices égaux à m. Chaque distribution correspond à un des ordres dans lesquels on peut ranger ces N indices qui ne sont pas tous différents, à une des permutations de ces indices. Le nombre cherché est celui des permutations complètes de N objets dont n(1) d’une même espèce, n(2) d’une autre, etc. Il est bien donné par la formule (7). Ce nombre W de manières dont on peut réaliser une distribution donnée (n(1), n(2),…, n(m)) des N symboles entre m intervalles équivalents, au point de vue de la présence possible de chacun d’eux, est proportionnel avec le coefficient 1/(m^N) à la probabilité de cette distribution. Nous pourrons souvent prendre W comme mesure de cette probabilité.
On voit aisément que, pour une valeur donnée de N, W est maximum quand les n sont tous égaux. Nous voyons ainsi d’une autre manière que la distribution la plus probable est celle qui se fait également entre les divers intervalles, du moins lorsque aucune condition supplémentaire n’est imposée qui pourrait venir exclure certaines distributions. Nous allons traiter dans un instant un problème où s’introduiront de semblables exclusions. Les m-1 autres intervalles ne peuvent contenir que N-n coups, et la probabilité pour que le premier d’entre eux contienne n(2), est de la même manière :
[(N-n(1)) ! /[(n(2) !)*(N-n(1)-n(2)) !)]]*[(1/(m-1))^(n(2))]*[(1-1/(m-1))^(N-n(1)-n(2))]
et ainsi de suite. Si l’on fait maintenant, comme il est correct, le produit de toutes les probabilités composantes, on obtient pour la probabilité cherchée :
(1/(m^N))*[N ! /(n(1)) ! *(n(2)) ! *…*(n(m)) ! ]
Autrement dit, puisque le nombre total des distributions possibles est (m^N), le nombre de manières dont on peut obtenir dans les différents intervalles les nombres de coups assignés est :
(7) W = N ! /[(n(1)) ! *(n(2)) ! *…*(n(m)) ! ]
Nous aurions pu obtenir ce résultat plus directement en cherchant de combien de manières il est possible de distribuer entre les N symboles de groupes alpha, beta,… zeta, des nombres déterminés d’indices de chaque sorte, n(1) indices 1, n(2) indices 2,…., n(m) indices égaux à m. Chaque distribution correspond à un des ordres dans lesquels on peut ranger ces N indices qui ne sont pas tous différents, à une des permutations de ces indices. Le nombre cherché est celui des permutations complètes de N objets dont n(1) d’une même espèce, n(2) d’une autre, etc. Il est bien donné par la formule (7). Ce nombre W de manières dont on peut réaliser une distribution donnée (n(1), n(2),…, n(m)) des N symboles entre m intervalles équivalents, au point de vue de la présence possible de chacun d’eux, est proportionnel avec le coefficient 1/(m^N) à la probabilité de cette distribution. Nous pourrons souvent prendre W comme mesure de cette probabilité. On voit aisément que, pour une valeur donnée de N, W est maximum quand les n sont tous égaux. Nous voyons ainsi d’une autre manière que la distribution la plus probable est celle qui se fait également entre les divers intervalles, du moins lorsque aucune condition supplémentaire n’est imposée qui pourrait venir exclure certaines distributions. Nous allons traiter dans un instant un problème où s’introduiront de semblables exclusions.
La formule (7) donne également le moyen de calculer les écarts à forum partir de la distribution uniforme de probabilité maximum. Soit en effet nu la valeur
