Les mêmes conséquences peuvent s’obtenir peut-être plus simplement en remarquant que la transformation (3) laisse invariante l’expression
| (5) | , |
ou, s’il s’agit d’événements infiniment voisins, l’expression
| (6) | , |
c’est-à-dire qu’on a identiquement
Cet invariant joue, dans la théorie de la relativité, un rôle analogue à celui de la distance de deux points en géométrie. Il est caractéristique du groupe de Lorentz, et celui-ci peut s’obtenir, sous sa forme la plus générale, par la condition de conserver leur forme aux expressions (5) ou (6). De même, en géométrie analytique, les formules qui permettent de passer d’un système de coordonnées rectangulaires à un autre peuvent s’obtenir sous leur forme la plus générale par la condition de laisser invariante l’expression de la distance entre deux points en fonction de leurs coordonnées.
De même encore que la géométrie affirme l’existence d’un espace indépendant des systèmes particuliers de coordonnées qui servent à en repérer les points, et permet d’en énoncer les lois sous une forme intrinsèque grâce à l’introduction d’éléments invariants (distances, angles, surfaces, volumes, etc.), la physique, par l’intermédiaire du principe de relativité affirme l’existence d’un Univers indépendant du système de référence qui sert à repérer les événements.
