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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.
donc égale à la différentielle de
prise en supposant
et
constants, ce qui donne les trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}dx&={\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db+{\frac {\partial x}{\partial c}}dc,\\\\0&={\frac {\partial y}{\partial a}}da+{\frac {\partial y}{\partial b}}db+{\frac {\partial y}{\partial c}}dc,\\\\0&={\frac {\partial z}{\partial a}}da+{\frac {\partial z}{\partial b}}db+{\frac {\partial z}{\partial c}}dc.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ca756c120f98aaa400d5090fd7d46961298faa7)
Soit, pour abréger,
![{\displaystyle {\text{ϐ}}={\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial c}}-{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial b}}+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial a}}-{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial c}}+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial b}}-{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2300c0f06208b0896b7da6f4ea5c2651264ef048)
on aura
![{\displaystyle dx={\frac {{\text{ϐ}}da}{{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial c}}-{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial b}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021869a4ce5b7e4b271db7bdb05d36bfe6ddc884)
c’est l’expression de la base du parallélogramme (
) la surface de ce parallélogramme sera donc
Cette quantité exprime encore la surface du parallélogramme (ε) ; en la multipliant par
on aura
pour le volume des parallélépipèdes (C) et (B). Soit
la densité du parallélépipède (Α) après le temps t ; on aura
pour sa masse ; en l’égalant à sa masse primitive
, on aura
(G)
pour l’équation relative à la continuité du fluide.
33. On peut donner aux équations (F) et (G) une autre forme d’un usage plus commode dans quelques circonstances. Soient
et
les vitesses d’une molécule fluide, parallèlement aux axes des
des
et des
on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial t}}=u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ccfd8fe022a6ea6820f86466f62b7df6def0771)
,
![{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial t}}=v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17255e2fe27da4e5ca073f2925cea3d1b49e2d4e)
,
![{\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial t}}=w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e122b1f7259cda43d3e6bc5fbc6d91ec2381ea23)