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MÉCANIQUE CÉLESTE.
Différentions ces équations, en regardant
et
comme fonctions des coordonnées
de la molécule, et du temps
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial u}{\partial t}}\,+u{\frac {\partial u}{\partial x}}\,+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\,+w{\frac {\partial u}{\partial z}},\\\\{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial v}{\partial t}}\,+u{\frac {\partial v}{\partial x}}\,+v{\frac {\partial v}{\partial y}}\,+w{\frac {\partial v}{\partial z}},\\\\{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial w}{\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4ffccafcce47f6becc863f261a02583782fa844)
L’équation (F) du numéro précédent deviendra ainsi
(H)
![{\displaystyle \qquad \left\{{\begin{aligned}\delta \mathrm {V} -{\frac {\delta p}{\rho }}&=\delta x\left({\frac {\partial u}{\partial t}}\,+u{\frac {\partial u}{\partial x}}\,+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\,+w{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)\\\\&+\delta y\left({\frac {\partial v}{\partial t}}\,+u{\frac {\partial v}{\partial x}}\,+v{\frac {\partial v}{\partial y}}\,+w{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)\\\\&+\delta z\left({\frac {\partial w}{\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}\right).\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1694ff034f63f15bd90c31b752f2c42c387c4ec)
Pour avoir l’équation relative à la continuité du fluide, concevons que, dans la valeur de ϐ du numéro précédent,
soient égaux à
et que
,
,
soient égaux à
ce qui revient à prendre les coordonnées primitives
infiniment près de
on aura
ϐ
![{\displaystyle =1+dt\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05033777ba367508b2fafbab36c039e0077a727e)
l’équation (G) devient
![{\displaystyle \rho dt\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}\right)+\rho -\left(\rho \right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11130cae7c7b78fdb35bd2a8c0023a0d414ba286)
Si l’on considère
comme fonction de
et de
on a
![{\displaystyle \left(\rho \right)=\rho -dt{\frac {\partial \rho }{\partial t}}-udt{\frac {\partial \rho }{\partial x}}-vdt{\frac {\partial \rho }{\partial y}}-wdt{\frac {\partial \rho }{\partial z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/396b8639ed80e30159364cc7e80a941061e77510)
l’équation précédente se change ainsi dans la suivante
(K)
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