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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.
c’est l’équation relative à la continuité du fluide, et il est aisé de voir qu’elle est la différentielle de l’équation (G) du numéro précédent, prise par rapport au temps
L’équation (H) est susceptible d’intégration dans un cas fort étendu, savoir, lorsque
est une variation exacte de
étant d’ailleurs une fonction quelconque de la pression
Soit alors
cette variation ; l’équation (H) donne
![{\displaystyle \delta \mathrm {V} -{\frac {\delta p}{\rho }}=\delta {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\delta \left[\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1542859b6f4f5d0a7dfb1e344f6f4d6fdf1030f3)
d’où l’on tire, en intégrant par rapport à
![{\displaystyle \mathrm {V} -\int {\frac {\delta p}{\rho }}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c86e6b2ed8ebeb7d8e5d7483dfeaf4e35fb7a20)
Il faudrait ajouter à cette intégrale une constante arbitraire, fonction de
mais cette constante peut être censée renfermée dans la fonction
Cette dernière fonction donne la vitesse des molécules fluides, parallèlement aux axes des
des
et des
car on a
![{\displaystyle u={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b0827fc0ff5d04ad95477386071b331ad9089ab)
,
![{\displaystyle v={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a042623861727cb3c870dc7ecb46b261d7cfe225)
,
![{\displaystyle w={\frac {\partial \varphi }{\partial z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27e0820e1199477f5ab418d5aeb15f82b9bb03c3)
L’équation (K) relative à la continuité du fluide devient
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \rho }{\partial x}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial \rho }{\partial y}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+{\frac {\partial \rho }{\partial z}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}+\rho \left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e670cd60c8183600cc0f224288df35558c76787a)
ainsi l’on a relativement aux fluides homogènes
![{\displaystyle 0={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c8bb8836f1efed277e9105c1732bb3f720e321a)
On peut observer que la fonction
est une variation exacte de
à tous les instants, si elle l’est à un seul instant. Supposons, en effet, qu’à un instant quelconque elle soit égale à
dans l’instant suivant, elle sera
![{\displaystyle \delta \varphi +dt\left({\frac {\partial u}{\partial t}}\delta x+{\frac {\partial v}{\partial t}}\delta y+{\frac {\partial w}{\partial t}}\delta z\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e063f126d8cc9d893051af518427cae6f196ecaa)