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MÉCANIQUE CÉLESTE.

elle sera donc encore, à ce nouvel instant, une variation exacte, si ${\frac {\partial u}{\partial t}}\delta x+{\frac {\partial v}{\partial t}}\delta y+{\frac {\partial w}{\partial t}}\delta z$ est une variation exacte au premier instant ; or l’équation (H) donne à cet instant

${\frac {\partial u}{\partial t}}\delta x+{\frac {\partial v}{\partial t}}\delta y+{\frac {\partial w}{\partial t}}\delta z=$

$\delta \mathrm {V} -{\frac {\delta p}{\rho }}-{\frac {1}{2}}\delta \left[\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2}\right]\,;$

le premier membre de cette équation est par conséquent une variation exacte en $x,y,z\,;$ ainsi la fonction $u\delta x+v\delta y+w\delta z$ est une variation exacte dans l’instant suivant, si elle l’est dans un instant ; elle est donc alors une variation exacte à tous les instants.

Lorsque les mouvements sont très-petits, on peut négliger les carrés et les produits de $u,v$ et $w\,;$ l’équation (H) devient alors

$\delta \mathrm {V} -{\frac {\delta p}{\rho }}={\frac {\partial u}{\partial t}}\delta x+{\frac {\partial v}{\partial t}}\delta y+{\frac {\partial w}{\partial t}}\delta z=\,;$

ainsi, dans ce cas, $u\delta x+v\delta y+w\delta z$ est une variation exacte, si, comme nous le supposons, $p$ est fonction de $\rho$ ; en nommant donc encore $\delta \varphi$ cette différence, on aura

$\mathrm {V} -\int {\frac {\delta p}{\rho }}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}},$

et, si le fluide est homogène, l’équation de continuité deviendra

$0={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}.$

Ces deux équations renferment toute la théorie des ondulations très-petites des fluides homogènes.

34. Considérons une masse fluide homogène douée d’un mouvement uniforme de rotation autour de l’axe des $x.$ Soit $n$ la vitesse angulaire de rotation, à une distance de l’axe que nous prendrons pour unité de distance ; on aura $v=-nz,\ w=ny\,;$ l’équation (H) du numéro précédent deviendra ainsi

${\frac {\delta p}{\rho }}=\delta \mathrm {V} +n^{2}(y\delta y+z\delta z),$