et
après le temps
. En suivant le raisonnement du no 32, on trouvera qu’après ce temps le volume de la molécule fluide est égal à un parallélépipède rectangle dont la hauteur est
dont la largeur est
![{\displaystyle r'\sin \theta '\left({\frac {\partial \varpi '}{\partial \varpi '}}d\varpi +{\frac {\partial \varpi '}{\partial r}}dr\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebc378f03d354feccb7a41478cabf961194ebd7f)
en éliminant
au moyen de l’équation
![{\displaystyle 0={\frac {\partial r'}{\partial \varpi }}d\varpi +{\frac {\partial r'}{\partial r}}dr\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b2252c8b5045f7fd2c0188c359e33321c7b232)
enfin, dont la longueur est
![{\displaystyle r'\left({\frac {\partial \theta '}{\partial r}}dr+{\frac {\partial \theta '}{\partial \theta }}d\theta +{\frac {\partial \theta '}{\partial \varpi }}d\varpi \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/135d4f871361f69db60b6b9c48c14902c12eea6b)
en éliminant
et
au moyen des équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {\partial r'}{\partial r'}}dr+{\frac {\partial r'}{\partial \theta }}d\theta +{\frac {\partial r'}{\partial \varpi }}d\varpi ,\\\\0&={\frac {\partial \varpi '}{\partial \varpi '}}dr+{\frac {\partial \varpi '}{\partial \theta }}d\theta +{\frac {\partial \varpi '}{\partial \varpi }}d\varpi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5fcb1d0b7fb2a95d64096638f2ecd3289a6f2b7)
En supposant donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ϐ}}'&={\frac {\partial r'}{\partial r}}{\frac {\partial \theta '}{\partial \theta }}{\frac {\partial \varpi '}{\partial \varpi }}-{\frac {\partial r'}{\partial r}}{\frac {\partial \theta '}{\partial \varpi }}{\frac {\partial \varpi '}{\partial \theta }}+{\frac {\partial r'}{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta '}{\partial \varpi }}{\frac {\partial \varpi '}{\partial r}}\\\\&-{\frac {\partial r'}{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta '}{\partial r}}{\frac {\partial \varpi '}{\partial \varpi }}+{\frac {\partial r'}{\partial \varpi }}{\frac {\partial \theta '}{\partial r}}{\frac {\partial \varpi '}{\partial \theta }}-{\frac {\partial r'}{\partial \varpi }}{\frac {\partial \theta '}{\partial \theta }}{\frac {\partial \varpi '}{\partial r}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eaddece65e1d680aaed2b3080cde776aabfca05)
le volume de la molécule après le temps
sera
ainsi, en nommant
la densité primitive de cette molécule, et
sa densité correspondante à
on aura, en égalant l’expression primitive de sa masse à son expression après le temps ![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
![{\displaystyle \rho {\text{ϐ}}'r'^{2}\sin \theta '=(\rho )r^{2}\sin \theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30803c0b51ba861573b1f5df49c35af878b6dcb6)
c’est l’équation de la continuité du fluide. Dans le cas présent,
![{\displaystyle r'=r+\alpha s,\qquad \theta '=\theta +\alpha u,\qquad \varpi '=nt+\varpi +\alpha v\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dac509bd217b27e1ad313dd66785fcafbf5bad5)