on aura ainsi, en négligeant les quantités de l’ordre ![{\displaystyle \alpha ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cec7e4711eca9569982da128a1b5186ae022e7)
![{\displaystyle {\text{ϐ}}'=1+\alpha {\frac {\partial s}{\partial r}}+\alpha {\frac {\partial u}{\partial \theta }}+\alpha {\frac {\partial v}{\partial \varpi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d54e3d419be3fae656e727930244bbe0823a742)
Supposons qu’après le temps
la densité primitive
du fluide se change en
l’équation précédente, relative à la continuité du fluide, donnera
![{\displaystyle 0=r^{2}\left[\rho '+(\rho )\left({\frac {\partial u}{\partial \theta }}+{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}+{\frac {u\cos \theta }{\sin \theta }}\right)\right]+(\rho ){\frac {\partial .r^{2}s}{\partial r}}.\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831dea397547782908efafa04840ff1680fb33bb)
36. Appliquons ces résultats aux oscillations de la mer. Sa masse étant homogène, on a
et par conséquent
![{\displaystyle 0={\frac {\partial .r^{2}s}{\partial r}}+r^{2}\left({\frac {\partial u}{\partial \theta }}+{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}+{\frac {u\cos \theta }{\sin \theta }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae81bfe8f222db3f756445ad939203cb709d300)
Supposons, conformément à ce qui paraît avoir lieu dans la nature, la profondeur de la mer très-petite relativement au rayon
du sphéroïde terrestre ; représentons-la par
étant une fonction très-petite de
et de
qui dépend de la loi de cette profondeur. Si l’on intègre l’équation précédente, par rapport à
depuis la surface du solide que la mer recouvre jusqu’à la surface de la mer, on voit que la valeur de
sera égale à une fonction de
et
indépendante de
plus à une très-petite fonction qui sera, par rapport à
et à
du même ordre de petitesse que la fonction
or, à la surface du solide que la mer recouvre, lorsque les angles
et
se changent dans
et
il est aisé de voir que la distance d’une molécule d’eau, contiguë à cette surface, au centre de gravité de la Terre ne varie que d’une quantité très-petite par rapport à
et
et du même ordre que les produits de ces quantités par l’excentricité du sphéroïde recouvert par la mer : la fonction indépendante de
qui entre dans l’expression de
est donc très-petite du même ordre ; ainsi l’on peut négliger généralement
vis-à-vis de
et de
. L’équation du mouvement de la mer à sa surface,