En multipliant cette équation par
et en l’intégrant, on aura
![{\displaystyle r^{2}{\frac {dr^{2}}{dt^{2}}}-2\mu r+{\frac {\mu r^{2}}{a'}}+h^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3347f61643e7c6f02bf86718e1bc556f8b3b9ff2)
étant une constante arbitraire. De là on tire
![{\displaystyle dt={\frac {rdr}{{\sqrt {\mu }}{\sqrt {2r-{\frac {r^{2}}{a'}}-{\frac {h^{2}}{\mu }}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f63db761e8c69116fb46cceb54000e26586df87a)
cette équation donnera
en fonction de
et, comme
sont donnés, par ce qui précède, en fonction de
on aura les coordonnées de
en fonction du temps.
18. On peut parvenir à ces diverses équations par la méthode suivante, qui a l’avantage de donner les arbitraires en fonction des coordonnées
et de leurs premières différences, ce qui nous sera très-utile dans la suite.
Supposons que
soit une intégrale du premier ordre des équations
étant une fonction de
nommons
ces trois dernières quantités. L’équation
donnera par sa différentiation
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}},\quad 0={\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x'}}{\frac {dx'}{dt}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y'}}{\frac {dy'}{dt}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z'}}{\frac {dz'}{dt}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fb3d1330376e49bf44c67e998c08af60c05e253)
mais les équations (O) donnent
![{\displaystyle {\frac {dx'}{dt}}=-{\frac {\mu x}{r^{3}}},\qquad {\frac {dy'}{dt}}=-{\frac {\mu y}{r^{3}}},\qquad {\frac {dz'}{dt}}=-{\frac {\mu z}{r^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b7fe4c891c89b7597d4aaea4f37e4e08cbc3a0)
on a donc l’équation identique aux différences partielles
(I)
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Il est clair que toute fonction de
qui, substituée