pour
dans cette équation, la rend identiquement nulle devient, en l’égalant à une constante arbitraire, une intégrale du premier ordre des équations (O).
Supposons
![{\displaystyle {\rm {{V=U+U'+U''}+\ldots ,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9afd6d3857824c7ae36d4a6eb82756cfeb20c906)
étant fonction des trois variables
étant fonction des six variables
, mais du premier ordre relativement à
étant fonction des mêmes variables, et du second ordre relativement à
; et ainsi de suite. Substituons cette valeur dans l’équation (I), et comparons séparément : 1o les termes sans
2o ceux qui renferment la première puissance de ces variables ; 3o ceux qui renferment leurs carrés et leurs produits, et ainsi de suite ; nous aurons
(I')
|
|
|
L’intégrale de la première de ces équations est, comme l’on sait par la théorie des équations à différences partielles,
![{\displaystyle {\rm {{U'=fonct}.(xy'-yx',xz'-zx',yz'-zy',x,y,z).}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36bd98456fffd59090a5da55875cc607fed07439)
La valeur de
devant être linéaire en
nous la supposerons de cette forme
![{\displaystyle {\rm {{U'=A}(xy'-yx')+{\rm {{B}(xz'-zx')+{\rm {{C}(yz'-zy'),}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68bdb11ed47346fed5eee8abcd1d7ba317354848)
étant des constantes arbitraires. Arrêtons ensuite la valeur de
au terme
en sorte que
soient nuls ; la troisième des