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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

Si le mobile part de l’état du repos, $b$ sera nul, et l’on aura

${\frac {dz}{dt}}=gt,\qquad z={\frac {1}{2}}gt^{2}\ ;$

la vitesse acquise croît donc comme le temps, et l’espace croît comme le carré du temps.

Il est facile, au moyen de ces formules, de comparer la force centrifuge à la pesanteur. On a vu précédemment que, $v$ étant la vitesse d’un corps mû dans une circonférence dont le rayon est $r,$ la force centrifuge est ${\frac {v^{2}}{r}}.$ Soit $h$ la hauteur dont il devrait tomber pour acquérir la vitesse $v\ ;$ on aura, par ce qui précède, $v^{2}=2gh\ ;$ d’où l’on tire

${\frac {v^{2}}{r}}=g{\frac {2h}{r}}.$

Si $h={\tfrac {1}{2}}r,$ la force centrifuge devient égale à la pesanteur $g\ ;$ ainsi un corps pesant attaché à l’extrémité d’un fil fixe par son autre extrémité, sur un plan horizontal, tendra ce fil avec la même force que s’il était suspendu verticalement, pourvu qu’il se meuve sur ce plan avec la vitesse qu’il acquerrait en tombant d’une hauteur égale à la moitié de la longueur du fil.

11. Considérons le mouvement d’un corps pesant dans une surface sphérique. En nommant $r$ son rayon, et fixant à son centre l’origine des coordonnées $x,$ $y,$ $z$, on aura $r^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=0\ ;$ cette équation, comparée à celle-ci $u=0,$ donne $u=r^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=0\ ;$ en ajoutant donc à l’équation ($f$) du n^o 7 la fonction $\delta u,$ multipliée par l’indéterminée $-\lambda dt,$ on aura

$0=\delta x\left(d{\frac {dx}{dt}}+2\lambda xdt\right)+\delta y\left(d{\frac {dy}{dt}}+2\lambda ydt\right)+\delta z\left(d{\frac {dz}{dt}}+2\lambda zdt-gdt\right),$

équation dans laquelle on pourra égaler séparément à zéro les coefficients de chacune des variations $\delta x,\ \delta y,\delta z,$ ce qui donne les trois équa-