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parce que

$\left(1-{\cfrac {dx_{1}}{\alpha }}\right)^{\frac {x_{1}}{dx_{1}}}=e^{-{\frac {x_{1}}{\alpha }}}\,;$

au aura donc

$y_{x,x_{1}}=\alpha ^{x}e^{-{\frac {x_{1}}{\alpha }}}{\frac {d^{x}\left(y_{0,x_{1}}e^{\frac {x_{1}}{\alpha }}\right)}{dx_{1}^{x}}}$

ou, plus simplement,

$y_{x,x_{1}}=\alpha ^{x}e^{-{\frac {x_{1}}{\alpha }}}{\frac {d^{x}\varphi (x_{1})}{dx_{1}^{x}}},$

$\varphi (x_{1})$ étant une fonction arbitraire de $x_{1}.$

Il suit de là que, si l’ondésigne par $\varphi _{1}(x_{1}),\varphi _{2}(x_{1}),\varphi _{3}(x_{1}),\ldots$ d’autres fonctions arbitraires de $x_{1},$ l’expression complète $y_{x}$ sera

$y_{x,x_{1}}=\alpha ^{x}e^{-{\frac {x_{1}}{\alpha }}}{\frac {d^{x}\varphi (x_{1})}{dx_{1}^{x}}}+\alpha _{1}^{x}e^{-{\frac {x_{1}}{\alpha _{1}}}}{\frac {d^{x}\varphi _{1}(x_{1})}{dx_{1}^{x}}}+\alpha _{2}^{x}e^{-{\frac {x_{1}}{\alpha _{2}}}}{\frac {d^{x}\varphi _{2}(x_{1})}{dx_{1}^{x}}}+\ldots .$

XXIV.

Théorèmes sur le développement des fonctions à deux variables en séries.

Si l’on applique aux fonctions à deux variables la méthode exposée dans les articles X et XI, on aura, sur le développement de ces fonctions en séries, des théorèmes analogues à ceux auxquels nous sommes parvenu dans ces deux articles. Supposons que $u$ soit égal à la suite infinie

${\begin{aligned}y_{0,0}+y_{1,0}t\ +y_{2,0}t^{2}\ \,+y_{3,0}t^{3}\ \ \ &+\ldots \\+y_{0,1}t_{1}+y_{1,1}t_{1}t+y_{2,1}t_{1}t^{2}&+\ldots \\&+\ldots ,\end{aligned}}$

et que l’on désigne par la caractéristique $\Delta$ la différence finie de $y_{x,x_{1}},$ prise en faisant varier à la fois $x$ et.$x_{1},$ la fonction génératrice de $\Delta y_{x,x_{1}}$ sera $u\left({\frac {1}{u_{1}}}-1\right)\,:$ d’où il suit que la fonction de $\Delta ^{n}y_{x,x_{1}}$ sera $u\left({\frac {1}{u_{1}}}-1\right)^{n}.$ Or on a

${\frac {1}{u_{1}}}-1=\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)\left(1+{\frac {1}{t_{1}}}-1\right)-1,$