Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/237

et, par conséquent,

$\int ydx=UY\int dte^{-t}\left[1+{\frac {d\mathrm {U} }{d\theta }}t+{\frac {d(\mathrm {U} d\mathrm {U} )}{1.2d\theta ^{2}}}t^{2}+\ldots \right].$

Si l’on prend l’intégrale depuis $t=0$ jusqu’à $t=\infty ,$ on aura généralement

$\int t^{n}dte^{-t^{n}}=1.2.3\ldots n,$

partant

$\int ydx=\mathrm {UY} \left\{1+{\frac {d\mathrm {U} }{d\theta }}+{\frac {d(\mathrm {U} d\mathrm {U} )}{d\theta ^{2}}}+{\frac {d\left[\mathrm {U} d(\mathrm {U} d\mathrm {U} )\right]}{d\theta ^{3}}}+\ldots \right\},$

l’intégrale relative à $x$ étant prise depuis $x=\theta$ jusqu’à la valeur de $x$ qui convient à $t$ infini.

Nommons $\mathrm {Y} '$ et $\mathrm {U} '$ ce que deviennent $y$ et $v$ lorsqu’on y change $x$ en $\theta '\,;$ nous aurons pareillement

$\int ydx=\mathrm {U'Y'} \left\{1+{\frac {d\mathrm {U} '}{d\theta '}}+{\frac {d(\mathrm {U} 'd\mathrm {U} ')}{d\theta '^{2}}}+{\frac {d\left[\mathrm {U} 'd(\mathrm {U} 'd\mathrm {U} ')\right]}{d\theta '^{3}}}+\ldots \right\},$

l’intégrale relative à $x$ étant prise depuis $x=\theta '$ jusqu’à la valeur de $x$ qui convient à $t$ infini ; en retranchant donc ces deux expressions l’une de l’autre, on aura

(A)

$\left\{{\begin{aligned}\int ydx&=\mathrm {UY} \left\{1+{\frac {d\mathrm {U} }{d\theta }}+{\frac {d(\mathrm {U} d\mathrm {U} )}{d\theta ^{2}}}+{\frac {d\left[\mathrm {U} d(\mathrm {U} d\mathrm {U} )\right]}{d\theta ^{3}}}+\ldots \right\}\\-&\mathrm {U'Y'} \left\{1+{\frac {d\mathrm {U} '}{d\theta '}}+{\frac {d(\mathrm {U} 'd\mathrm {U} ')}{d\theta '^{2}}}+{\frac {d\left[\mathrm {U} 'd(\mathrm {U} 'd\mathrm {U} ')\right]}{d\theta '^{3}}}+\ldots \right\},\end{aligned}}\right.$

l’intégrale relative à $x$ étant prise depuis $x=\theta$ jusqu’à $x=\theta ',$ en sorte que la considération de $t$ disparaît dans cette formule. Si $\theta$ et $\theta '$ étaient primitivement renfermés dans $y,$ il ne faudrait faire varier que les quantités $\theta$ et $\theta '$ qu’introduisent dans $\mathrm {U}$ et $\mathrm {U} '$ les changements de $x$ en $\theta$ et en $\theta '$ dans la fonction $v.$

La formule (A) sera très convergente si $v$ ou $-{\frac {ydx}{dy}}$ est une très petite quantité ; or, $y$ étant, par la supposition, égal à $u^{s}u'^{s'}u''^{s''}\ldots \varphi ,$ on a

$v=-{\frac {1}{{\cfrac {sdu}{udx}}+s'{\cfrac {du'}{u'dx}}+\ldots +{\cfrac {d\varphi }{\varphi dx}}}}\,;$