Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/309

d’où l’on tire, en substituant cette valeur dans l’expression précédente de $\Delta ^{n}s^{i},$

$(\mu ''')\quad \Delta ^{n}s^{i}=(-1)^{r+1}{\frac {\sin {\cfrac {m\pi }{n}}}{\pi }}\int x^{i}dxe^{-x}\int {\frac {dx}{x^{i+1}}}e^{-sx}\left(e^{-x}-1\right)^{n},$

les deux intégrales étant prises depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty .$ Si $i$ est un très grand nombre, on aura la première en série convergente par le n^o XIX, et la méthode du n^o XXVI donnera la seconde dans une série pareillement convergente lorsque la différence $n-i$ sera considérable ; dans le cas où elle sera peu considérable relativement à $s+{\frac {n}{2}},$ la méthode du n^o XXVIII donnera pour l’expression de $\Delta ^{n}s^{i}$ une suite convergente analogue à la série $(\mu '').$ On peut observer que, si $i$ est un nombre entier, on aura $m=0\,;$ la formule $(\mu ''')$ donnera donc alors $\Delta ^{n}s^{i}=0,$ ce qui s’accorde avec ce que l’on sait d’ailleurs.

Supposons $i={\frac {m}{n}}=0,$ on aura, $r$ étant égal à zéro.

$r=0,\qquad \sin {\frac {m}{n}}\pi ={\frac {m}{n}}\pi =i\pi$

et

$\Delta ^{n}s^{i}=\Delta ^{n}{\frac {s^{i}-1}{i}}=\Delta ^{n}\log s\,;$

la formule $(\mu ''')$ donnera donc

$\Delta ^{n}\log s=-\int {\frac {e^{-sx}dx}{x}}\left(e^{-x}-1\right)^{n},$

d’où il est aisé de conclure, par le n^o XXVII,

${\begin{aligned}\Delta ^{n}\log s=&\log(s+n)-n\log(s+n-1)+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\log(s+n-2)-\ldots \\=&{\frac {e^{sa}\left(e^{a}-1\right)^{n}{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {{\frac {na^{2}e^{a}}{\left(e^{a}-1\right)^{2}}}-1}}}(1+\ldots ),\end{aligned}}$

$a$ étant donné par l’équation

$0={\frac {1}{a}}-s-{\frac {ne^{a}}{e^{a}-1}}.$