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et celle du dénominateur étant prise depuis $u=0$ jusqu’à $u=\infty .$ Soit $u={\frac {1-s}{s}},$ cette valeur de $z$ deviendra

$z={\frac {\int s^{n}ds(1-s)^{n-1}}{\int s^{n}ds(1-s)^{n-1}}},$

l’intégrale du numérateur étant prise depuis $s=0$ jusqu’à $s=x,$ et celle du dénominateur étant prise depuis $s=0$ jusqu’à $s=1\,;$ de là il est aisé de conclure

${\frac {dz}{zdx}}={\frac {x^{n}(1-x)^{n-1}}{\int s^{n}ds(1-s)^{n-1}}},\qquad {\frac {d^{2}z}{zdx^{2}}}={\frac {dz}{zdx}}{\frac {n-(2n-1)x}{x(1-x)}},$

l’intégrale étant prise depuis $s=0$ jusqu’à $s=x.$ En changeant $x$ en $a,$ on aura les valeurs de $\mathrm {Z} ,{\frac {d\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} dx}},{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} dx^{2}}}\,;$ toute la difficulté se réduit donc à déterminer $a.$

Sa valeur est donnée par l’équation

$0={\frac {p}{a}}-{\frac {q}{1-a}}+i{\frac {d\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} dx}},$

d’où l’on tire, en substituant au lieu de ${\frac {d\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} dx}}$ sa valeur précédente

$a={\frac {p}{p+q}}+{\frac {ia^{n+1}(1-a)^{n}}{(p+q)\int s^{n}ds(1-s)^{n-1}}},$

l’intégrale étant prise depuis $s=0$ jusqu’à $s=a\,;$ c’est l’équation d’après laquelle il faut déterminer $a.$ Pour cela, nous observerons que, $a$ étant plus grand que ${\frac {p}{p+q}},$ il surpasse sensiblement la valeur de $s,$ qui répond au maximum de $s^{n}ds(1-s)^{n-1}\,;$ ainsi, $n$ étant un grand nombre, on pourra supposer, dans l’équation précédente, que l’intégrale est prise depuis $s=0$ jusqu’à $s=1,$ ce qui donne, par le n^o VI,

$\int s^{n}ds(1-s)^{n-1}={\frac {n^{n+{\frac {1}{2}}}(n-1)^{n-{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi }}}{(2n-1)^{2n+{\frac {1}{2}}}}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2n}{\sqrt {n}}}}.$