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MÉMOIRE SUR LA FIGURE DE LA TERRE.

fluide dont on les suppose recouvertes, quelles que soient d’ailleurs les forces qui l’animent : ces formules, appliquées à la Terre, donnent les résultats suivants.

Soit $\theta$ l’angle que forme un rayon quelconque d’une couche du sphéroïde terrestre avec l’axe de rotation ; $\varpi$ l’angle que forme le plan qui passe par ces deux lignes avec un plan invariable passant par l’axe de rotation ; soit $a(1+\alpha y)$ le rayon mené du centre de gravité de la Terre à la surface de cette couche, $\alpha$ étant un très petit coefficient et $y$ étant une fonction de $\mu$ et de $\varpi ,\,;$ supposons que cette fonction soit mise sous la forme suivante

$y=\mathrm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}+Y^{(3)}} +\ldots ,$

$\mathrm {Y^{(0)},Y^{(1)},Y^{(2)}} ,\ldots$ étant des fonctions rationnelles et entières de $\mu ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,$ d’un ordre égal à l’indice de ces fonctions, et qui soient telles que la fonction $\mathrm {Y} ^{(i)}$ satisfasse, quel que soit $i,$ à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Y} ^{(i)}.$

Soit enfin $\rho$ la densité de la couche, $\rho$ étant fonction de $a,$ et nommons $\alpha \varphi$ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur ; les conditions de l’équilibre donnent à la surface les équations suivantes :

${\begin{aligned}0=&\mathrm {Y} ^{(0)}\int \rho da^{3}-3\int \rho d\left(a^{3}\mathrm {Y} ^{(0)}\right)-{\frac {1}{3}}\varphi \int \rho da^{3},\\0=&\mathrm {Y} ^{(1)}\int \rho da^{3}-\int \rho d\left(a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}\right),\\0=&\mathrm {Y} ^{(2)}\int \rho da^{3}-{\frac {3}{5}}\int \rho d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}\right)+{\frac {1}{2}}\varphi \left(\mu ^{2}-1\right)\int \rho da^{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\0=&\mathrm {Y} ^{(i)}\int \rho da^{3}-{\frac {3}{2i+1}}\int \rho d\left(a^{i+3}\mathrm {Y} ^{(i)}\right),\end{aligned}}$

les différentielles et les intégrales étant relatives à la variable $a,$ et les intégrales étant prises depuis $a=0$ jusqu’à la valeur de $a$ à la surface, valeur que nous désignerons par l’unité.