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MÉMOIRE SUR LA FIGURE DE LA TERRE.

forme $\mathrm {U} ^{(1)}$ les trois équations précédentes deviennent

${\begin{aligned}0=&\iiint \rho d\mu d\varpi d\left(a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}\right),\\0=&\iiint \rho {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi d\mu d\varpi d\left(a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}\right),\\0=&\iiint \rho {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi d\mu d\varpi d\left(a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}\right).\end{aligned}}$

Ces intégrales paraissent supposer la connaissance de $\mathrm {Y} ^{(1)}$ dans l’intérieur du sphéroïde ; mais on peut, au moyen des équations précédentes de l’équilibre, les ramener à ne dépendre que de la valeur de $\mathrm {Y} ^{(1)}$ à la surface extérieure ; en effet, la seconde de ces équations donne

$\int \rho d\left(a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}\right)=\mathrm {Y} ^{(1)}\int \rho da^{3},$

la valeur de $\mathrm {Y} ^{(1)}$ dans ce second membre, étant relative à la surface extérieure. On aura donc

${\begin{aligned}0=&\iint \mathrm {Y} ^{(1)}d\mu d\varpi ,\\0=&\iint \mathrm {Y} ^{(1)}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi d\mu d\varpi ,\\0=&\iint \mathrm {Y} ^{(1)}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi d\mu d\varpi .\end{aligned}}$

$\mathrm {Y} ^{(1)}$ est de cette forme

$\mathrm {H} \mu +\mathrm {H} '{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi +\mathrm {H} ''{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi \,;$

en substituant cette valeur dans ces trois équations, on aura $\mathrm {H} =0,$$\mathrm {H} '=0,\ \mathrm {H} ''=0,$ partant $\mathrm {Y} ^{(1)}=0.$ On voit ainsi que, si l’origine des rayons est au centre de gravité du sphéroïde, le rayon à la surface extérieure sera

$1+\alpha \left(\mathrm {Y^{(0)}+Y^{(2)}+Y^{(3)}} +\ldots \right),$

et, comme $\alpha \mathrm {Y} ^{(0)}$ est une constante, on pourra la supposer comprise dans la constante $a$ que nous avons prise pour l’unité, ce qui donne à l’expression du rayon à la surface cette forme plus simple

$1+\alpha \left(\mathrm {Y^{(2)}+Y^{(3)}+Y^{(4)}} +\ldots \right).$