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MÉMOIRE SUR LA FIGURE DE LA TERRE.

entière sont, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$

${\begin{aligned}&-{\frac {1}{5}}\iiint \rho \mu ^{2}d\mu d\varpi d\left[a^{5}(1+5\alpha y)\right],\\&-{\frac {1}{5}}\iiint \rho \left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}\varpi d\mu d\varpi d\left[a^{5}(1+5\alpha y)\right],\\&-{\frac {1}{5}}\iiint \rho \left(1-\mu ^{2}\right)\sin ^{2}\varpi d\mu d\varpi d\left[a^{5}(1+5\alpha y)\right].\end{aligned}}$

Les quantités $\mu ^{2},\ \left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}\varpi ,\ \left(1-\mu ^{2}\right)\sin ^{2}\varpi$ sont réductibles à des quantités de cette forme $\mathrm {U^{(0)}+U^{(2)}} \,;$ il faut donc, par le théorème de l’article VI, ne considérer dans $y$ que les termes $\mathrm {Y} ^{(0)}$ et $\mathrm {Y} ^{(2)}\,;$ mais le terme $\mathrm {Y} ^{(0)}$ étant constant, il peut être censé compris dans la constante $a.$ Les moments précédents deviendront ainsi

${\begin{aligned}&-{\frac {1}{5}}\iiint \rho \mu ^{2}d\mu d\varpi d\left[a^{5}(1+5\alpha \mathrm {Y} ^{(2)})\right],\\&-{\frac {1}{5}}\iiint \rho \left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}\varpi d\mu d\varpi d\left[a^{5}(1+5\alpha \mathrm {Y} ^{(2)})\right],\\&-{\frac {1}{5}}\iiint \rho \left(1-\mu ^{2}\right)\sin ^{2}\varpi d\mu d\varpi d\left[a^{5}(1+5\alpha \mathrm {Y} ^{(2)})\right].\end{aligned}}$

On a, par l’article VI,

$-\alpha \int \rho d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}\right)=-\left[{\frac {5}{6}}\alpha \varphi \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+{\frac {5}{3}}\alpha \mathrm {Y} ^{(2)}\right]\int \rho da^{3},$

la valeur de $\alpha \mathrm {Y} ^{(2)}$ du second membre de cette équation étant relative à la surface ; cette valeur pour la Terre est, par l’article VIII, égale à $-0{,}003111\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).$ En désignant donc par $\mathrm {A}$ la constante

$\left(0{,}005185-{\frac {5}{6}}\alpha \varphi \right)\int \rho da^{3},$

on aura, pour les moments d’inertie de la Terre par rapport aux plans de ses axes principaux.

${\begin{aligned}&{\frac {4\pi }{15}}\int \rho da^{3}-{\frac {16\pi }{45}}\mathrm {A} ,\\&{\frac {4\pi }{15}}\int \rho da^{3}+{\frac {8\pi }{45}}\mathrm {A} ,\\&{\frac {4\pi }{15}}\int \rho da^{3}+{\frac {8\pi }{45}}\mathrm {A} .\end{aligned}}$

On peut facilement, au moyen de l’analyse précédente, déterminer