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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

de l’angle $nt-3n't+2n''t+\varepsilon -3\varepsilon '+2e'',$ et, pour abréger, désignons cet angle par $\varphi .$ Si l’on n’a égard qu’à l’action du second satellite sur le premier, on a, par l’article IV,

$\mathrm {R} =-{\frac {m'}{2}}\mathrm {B} ^{(0)}+m'\left({\frac {r}{r'^{2}}}-\mathrm {B} ^{(1)}\right)\cos(v'-v)-m'\mathrm {B} ^{(2)}\cos 2(v'-v)-\ldots .$

Le terme $m'\left({\frac {r}{r'^{2}}}-\mathrm {B} ^{(1)}\right)\cos(v'-v)$ de cette expression de $\mathrm {R}$ produit dans $\operatorname {d} \mathrm {R}$ la fonction différentielle

$m'dr\left({\frac {1}{r'^{2}}}-{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial r}}\right)\cos(v'-v)+m'dv\left({\frac {r}{r'^{2}}}-\mathrm {B} ^{(1)}\right)\sin(v'-v).$

Il faut substituer, dans cette fonction, au lieu de $r,r',v$ et $v',$ les quantités $a+{\frac {r\delta r}{a}},\ a'+{\frac {r'\delta r'}{a'}},\ nt+\varepsilon +\delta v$ et $n't+\varepsilon '+\delta v'.$ La substitution de $a+{\frac {r\delta r}{a}}$ au lieu de $r,$ et de $nt+\varepsilon +\delta v$ au lieu de $v,$ ne donnera aucun terme dépendant de l’angle $\varphi \,;$ il faudrait, pour cela, que ${\frac {r\delta r}{a}}$ et $\delta v$ renfermassent des termes dépendants de l’angle $2n't-2n''t+2\varepsilon '-2\varepsilon '',$ parce que ces termes, en se combinant avec ceux qui dépendent de l’angle $nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ',$ dans la fonction précédente, en produiraient d’autres dépendants de l’angle $\varphi \,;$ or, il est visible, par l’article IV, que les valeurs de ${\frac {r\delta r}{a}}$ et de $\delta v$ ne renferment point de termes dépendants de l’angle $2n't-2n''t+2\varepsilon '-2\varepsilon ''\,;$ leur substitution dans la fonction différentielle précédente ne donnera donc point de termes dépendants de l’angle $\varphi .$

Il n’en est pas de même de la substitution de $a'+{\frac {r'\delta r'}{a'}}$ au lieu de $r',$ et de $n't+\varepsilon '+\delta v'$ au lieu de $v'.$ En faisant cette substitution dans le terme $m'dv\left({\frac {r}{r'^{2}}}-\mathrm {B} ^{(1)}\right)\sin(v'-v),$ il en résulte les deux termes suivants

${\begin{aligned}&-m'ndt{\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}\left({\frac {2a}{a'^{2}}}+a'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a'}}\right)\sin(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ),\\&+m'ndt\delta v'\left({\frac {a}{a'^{2}}}-\mathrm {B} ^{(1)}\right)\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ).\end{aligned}}$