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point de mouvement de rotation, la profondeur de la mer est constante, l’équilibre est stable toutes les fois que la condition précédente est remplie. Je vais maintenant généraliser ce théorème et faire voir qu’il a lieu quels que soient la loi de la profondeur de la mer et le mouvement de rotation de la Terre.

Rappelons, pour cela, les équations générales du mouvement de la mer. Considérons une molécule $dm$ de sa surface, dont $\mu$ soit le sinus de la latitude dans l’état d’équilibre, et $\varpi$ la longitude comptée d’un méridien fixe sur la Terre. Supposons que $\alpha u$ soit la quantité dont la latitude de la molécule est plus petite que dans l’état d’équilibre, et que $\alpha v$ soit la quantité dont la longitude est plus grande, $\alpha$ étant un très petit coefficient. Supposons encore que cette molécule soit élevée de la quantité $\alpha y$ au-dessus de la surface d’équilibre de la mer. Nommons $1$ le demi-axe de la Terre ; $l\gamma$ la profondeur de la mer, $l$ étant un coefficient fort petit, et $\gamma$ étant une fonction de $\mu$ et de $\varpi .$ Soient $g$ la pesanteur, $t$ le temps et $nt$ le mouvement de rotation de la Terre. Soit enfin $\alpha \mathrm {V}$ la somme de toutes les molécules d’une couche aqueuse dont le rayon intérieur est l’unité et dont le rayon extérieur est $1+\alpha y,$ divisées par leurs distances respectives à la molécule $dm,$ plus la somme des masses du Soleil et de la Lune, divisées par leurs distances à la même molécule, les molécules de la couche aqueuse devant être supposées négatives dans tous les points où $\alpha y$ est négatif. Cela posé, les trois équations différentielles du mouvement de la Terre, que nous avons données dans les Mémoires de l’Académie pour l’année 1776, page 178 ^[1], deviendront

$y=l{\frac {\partial \left(u\gamma {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\right)}{\partial \mu }}-l{\frac {\partial (\gamma v)}{\partial \varpi }},$

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-2n{\frac {dv}{dt}}\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}=g{\frac {\partial y}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}},$

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}a\left(1-\mu ^{2}\right)+2n{\frac {du}{dt}}\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}=-g{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \varpi }}\,;$

1. Œuvres de Laplace, T. IX, p. 188.