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on aura donc

${\begin{aligned}\operatorname {S} \alpha gy&d\mu d\varpi \left({\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi {\frac {\partial \gamma }{\partial \mu }}-{\frac {\mu \cos \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}\right)\\&=-\operatorname {S} \alpha g\gamma d\mu d\varpi \left({\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi {\frac {\partial y}{\partial \mu }}-{\frac {\mu \cos \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}\right).\end{aligned}}$

On trouvera pareillement

${\begin{aligned}&\operatorname {S} \alpha gyd\mu d\varpi \left({\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi {\frac {\partial \gamma }{\partial \mu }}+{\frac {\mu \sin \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}\right)\\=-&\operatorname {S} \alpha g\gamma d\mu d\varpi \left({\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi {\frac {\partial y}{\partial \mu }}+{\frac {\mu \sin \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}\right).\end{aligned}}$

Les expressions précédentes de ${\frac {dN}{dt}},{\frac {dN'}{dt}}$ et ${\frac {dN''}{dt}}$ deviendront ainsi

(O)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}\ \,=\operatorname {S} \alpha \gamma d\mu d\varpi \left(g{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}-{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \varpi }}\right),\\&{\frac {d\mathrm {N} '}{dt}}\ =\operatorname {S} \alpha \gamma d\mu d\varpi \\&\times \left[{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi \left(g{\frac {\partial y}{\partial \mu }}-{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \mu }}\right)-{\frac {\mu \cos \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}\left(g{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}-{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \varpi }}\right)\right]\\&\qquad -\operatorname {S} \alpha n^{2}yd\mu d\varpi \mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\\&{\frac {d\mathrm {N} ''}{dt}}=-\operatorname {S} \alpha \gamma d\mu d\varpi \\&\times \left[{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi \left(g{\frac {\partial y}{\partial \mu }}-{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \mu }}\right)+{\frac {\mu \sin \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}\left(g{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}-{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \varpi }}\right)\right]\\&\qquad +\operatorname {S} \alpha n^{2}yd\mu d\varpi \mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi .\end{aligned}}\right.$

XII.

Déterminons maintenant l’influence de ces quantités sur les mouvements du sphéroïde terrestre autour de son centre de gravité. Pour cela, reprenons les équations (D) de l’article II ; si l’on néglige, dans la première, la très petite quantité $\mathrm {\frac {C-B}{A}} rp,$ on aura

$dp={\frac {d\mathrm {N} }{\mathrm {A} }}.$

On voit ainsi que les termes dépendants de très petits angles, que contient $d\mathrm {N} ,$ peuvent, par l’intégration, en produire de très grands dans la valeur de $p\,;$ il est donc nécessaire d’avoir égard à ces termes.