en faisant
L’équation 
donne, en y changeant 
dans 
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{1.2.3\ldots (n-l).2^{n-1}}}\\&\times \left[\left(n-1+r'{\sqrt {n-1}}\right)^{n-1}-(n-1)\left(n-1+r'{\sqrt {n-1}}-2\right)^{n-1}+\ldots \right.\\&-\left.\left(n-1+r''{\sqrt {n-1}}\right)^{n-1}+(n-1)\left(n-1+r''{\sqrt {n-1}}-2\right)^{n-1}-\ldots \right]\\&\qquad =\varphi (r',n-1)-\varphi (r'',n-1)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d6c1d321080b97fc4d1b2384bf4a773badfa384)
on a donc cette équation aux différences partielles finies et infiniment petites
On peut obtenir une seconde équation de cette manière ; on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\left(n+r{\sqrt {n}}-4\right)^{n}-\ldots \\&\qquad =\left(n+r{\sqrt {n}}\right)\left[\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n-1}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n-1}+\ldots \right]\\&\qquad \quad +2n\left[\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n-1}-(n-1)\left(n+r{\sqrt {n}}-4\right)^{n-1}+\ldots \right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25eba03ea6b090df1932b2e929afc2d7d5a3d95b)
L’équation donne, en la différenciant par rapport à 
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {n+r{\sqrt {n}}}{1.2.3\ldots n.2^{n}}}\left[\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n-1}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n-1}+\ldots \right]\\&\qquad =\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}+{\frac {r}{n}}\right)\varphi '(r,n),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9128ec5117df5ed22b6dab67db263d52a50c700e)
et la même équation donne, en y changeant comme ci-dessus dans 
et 
en 
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {2n}{1.2.3\ldots n.2^{n}}}\\&\times \left[\left(n-1+r''{\sqrt {n-1}}\right)^{n-1}-(n-1)\left(n-1+r''{\sqrt {n-1}}-2\right)^{n-1}+\ldots \right]\\&\qquad =\varphi (r'',n-1)+{\frac {1}{2}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09abe1f951b5a692ac9dbb40c165ba81c5ca539d)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{1.2.3\ldots n.2^{n}}}\left[\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n}+\ldots \right]\\&\qquad =\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}+{\frac {r}{n}}\right)\varphi '(r,n)+\varphi (r'',n-1)+{\frac {1}{2}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e05b2b55848aae3a70e21f5b1f59b4a5edea278)
