substituant cette valeur dans l’équation
on aura
![{\displaystyle (q)\quad \qquad \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}+{\frac {r}{n}}\right)\varphi '(r,n)+\varphi (r'',n-1)=\varphi (r,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a13865e03d5b3ac290d524afde08ad79c7de0f2)
Cette équation, combinée avec l’équation
donne
![{\displaystyle (q')\quad \qquad \left(-{\frac {1}{\sqrt {n}}}+{\frac {r}{n}}\right)\varphi '(r,n)+\varphi (r',n-1)=\varphi (r,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70fc47227c6b90de4dfd7142a0d03dc376d7d2e7)
On a
![{\displaystyle {\begin{aligned}r'\ =&r\left(1+{\frac {1}{2n}}+{\frac {3}{8n^{2}}}+\ldots \right)+{\frac {1}{\sqrt {n}}}\left(1+{\frac {1}{2n}}+{\frac {3}{8n^{2}}}+\ldots \right),\\r''=&r\left(1+{\frac {1}{2n}}+{\frac {3}{8n^{2}}}+\ldots \right)-{\frac {1}{\sqrt {n}}}\left(1+{\frac {1}{2n}}+{\frac {3}{8n^{2}}}+\ldots \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/698140687536c76eb2033bbc45a4ad2cc201ac48)
En substituant ces valeurs dans les équations
et
et en développant en série les fonctions
et
on voit que ces deux équations ne diffèrent qu’en ce que les termes affectés de
ont des signes contraires ; on peut donc égaler séparément ii zéro les termes du développement de l’équation
qui n’ont point
pour diviseur, et alors on a une équation de cette forme
![{\displaystyle (r)\qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{2n}}&\left[3r\varphi '(r,n-1)+\varphi ''(r,n-1)\right]\\&=\varphi (r,n)-\varphi (r,n-1)-{\frac {r}{n}}\left[\varphi '(r,n)-\varphi '(r,n-1)\right]\\&\qquad +{\frac {\mathrm {M} }{n^{2}}}+{\frac {\mathrm {M} '}{n^{2}}}+\ldots ,\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc91d41b455b56e93716643c63ae9a5e4b4529c0)
étant des fonctions rationnelles et entières de
multipliées par les différentielles de
et qu’il est facile de former. On trouve ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} =&-{\frac {3r}{8}}\varphi '(r,n-1)-{\frac {4+r^{2}}{8}}\varphi ''(r,n-1)\\&-{\frac {r}{4}}\varphi '''(r,n-1)-{\frac {1}{24}}\varphi ^{\text{ıv}}(r,n-1).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a9d97095f4c7462623ee1f86538864fe117b200)
L’équation
donne, en l’intégrant et désignant par