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l’intégrale relative à $t$ doit être prise depuis $t=-a\pi {\sqrt {s}}$ jusqu’à $t=+a\pi {\sqrt {s}}\,;$ et, dans ces deux cas, l’exponentielle sous le signe $\int$ est insensible à ces deux limites, soit parce que $s$ est un grand nombre, soit parce que $a$ est ici supposé divisé dans une infinité de parties prises pour unité ; on peut donc prendre l’intégrale relative à $t$ depuis $t=-\infty$ jusqu’à $t=\infty ,$ et il en est de même de l’intégrale relative a $t'.$ Cela posé, si l’on fait

${\begin{aligned}t''\ =&t+t'{\frac {\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}}{\mathrm {S} m^{(i)2}}}+{\frac {\mathrm {K} l{\sqrt {s}}{\sqrt {-1}}}{2\mathrm {K} ''a\mathrm {S} m^{(i)2}}},\\t'''=&t'-{\frac {\mathrm {K} {\sqrt {s}}}{2\mathrm {K} ''a}}{\frac {\left(l\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}-l'\mathrm {S} m^{(i)2}\right){\sqrt {-1}}}{\mathrm {S} m^{(i)2}\mathrm {S} n^{(i)2}-\left(\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}\right)^{2}}}\,;\end{aligned}}$

si l’on fait ensuite

$\mathrm {E} =\mathrm {S} m^{(i)2}\mathrm {S} n^{(i)2}-\left(\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}\right)^{2},$

la double intégrale précédente devient

$e^{-{\frac {\mathrm {K} }{4\mathrm {K} ''a^{2}\mathrm {E} }}\left(l^{2}\mathrm {S} n^{(i)2}-2ll'\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}+l'^{2}\mathrm {S} m^{(i)2}\right)}\iint {\frac {dt''dt'''}{4\pi ^{2}a^{2}s}}e^{-\mathrm {\frac {K''}{K}} t''^{2}{\frac {\mathrm {S} m^{(i)2}}{s}}-\mathrm {\frac {K''}{K}} t'''^{2}{\frac {\mathrm {E} }{s\mathrm {S} m^{(i)2}}}}.$

Les intégrales relatives à $t''$ et $t'''$ doivent être prises comme celles qui sont relatives à $t$ et $t'$ entre les limites infinies positives et négatives ; or on a dans ces limites, par les théorèmes connus,

$\int _{-\infty }^{\infty }dte^{-{\text{ϐ}}^{2}t^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{\text{ϐ}}}\,;$

la fonction (2) se réduit donc ainsi à

(3)

${\frac {\mathrm {K} }{4\mathrm {K} ''\pi a^{2}{\sqrt {\mathrm {E} }}}}e^{-{\frac {\mathrm {K} }{4\mathrm {K} ''a^{2}\mathrm {E} }}\left(l^{2}\mathrm {S} n^{(i)2}-2ll'\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}+l'^{2}\mathrm {S} m^{(i)2}\right)}.$

Il faut maintenant, pour avoir la probabilité que les valeurs de $l$ et de $l'$ seront comprises dans des limites données, multiplier cette quantité par $dldl'$ et l’intégrer ensuite dans ces limites ; en nommant donc $x$ cette quantité, la probabilité dont il s’agit sera $\iint xdldl'\,;$ mais, pour avoir la probabilité que les erreurs $u$ et $u'$ des corrections des éléments seront comprises dans des limites données, il faut substituer