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cette erreur soit un minimum. En faisant varier $m^{(i)}$ seul, on a

${\begin{aligned}d\log \mathrm {\frac {\sqrt {H}}{I}} =&dm^{(i)}{\frac {q^{(i)}\mathrm {S} n^{(i)}p^{(i)}-p^{(i)}\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}}{\mathrm {I} }}\\&+dm^{(i)}{\frac {\left[{\begin{aligned}&q^{(i)}\mathrm {S} n^{(i)}\mathrm {S} m^{(i)}q^{(i)}-n^{(i)}\mathrm {S} m^{(i)}q^{(i)}\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}\\&\quad -q^{(i)}\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}+m^{(i)}\left(\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}\right)^{2}\end{aligned}}\right]}{\mathrm {H} }}.\end{aligned}}$

Il est facile de voir que cette différentielle disparaît si l’on suppose dans les coefficients de $dm^{(i)}$

$m^{(i)}=\mu p^{(i)},\qquad n^{(i)}=\mu q^{(i)},$

$\mu$ étant un coefficient arbitraire indépendant de $i,$ et au moyen duquel on peut rendre $m,m^{(i)},\ldots$ des nombres entiers, comme l’analyse précédente l’exige. La supposition précédente rend donc nulle la différentielle de $\mathrm {\frac {\sqrt {H}}{I}}$ prise par rapport à $m^{(i)}.$ On verra de la même manière qu’elle rend nulle la différentielle de la même quantité, prise par rapport à $n^{(i)}\,;$ ainsi cette supposition rend un minimum l’erreur moyenne à craindre sur la correction du premier élément, et l’on verra de la même manière qu’elle rend encore un minimum l’erreur moyenne à craindre sur la correction du second élément. Dans cette supposition, les corrections des deux éléments sont

${\begin{aligned}z\ =&{\frac {\mathrm {S} q^{(i)2}\mathrm {S} p^{(i)}\alpha ^{(i)}-\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}\mathrm {S} q^{(i)}\alpha ^{(i)}}{\mathrm {S} p^{(i)2}\mathrm {S} q^{(i)2}-\left(\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}\right)^{2}}},\\z'=&{\frac {\mathrm {S} p^{(i)2}\mathrm {S} q^{(i)}\alpha ^{(i)}-\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}\mathrm {S} p^{(i)}\alpha ^{(i)}}{\mathrm {S} p^{(i)2}\mathrm {S} q^{(i)2}-\left(\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

Ces corrections sont celles que donne la méthode des moindres carrés des erreurs des observations, ou la condition du minimum de la fonction

$\mathrm {S} \left(p^{(i)}z+q^{(i)}z'-\alpha ^{(i)}\right)^{2},$

d’où il suit que cette méthode a généralement lieu, quel que soit le nombre des éléments à déterminer ; car il est visible que l’analyse précédente peut s’étendre à un nombre quelconque d’éléments. L’er-