étant une arbitraire, et en observant que
Cette expression donne, en substituant pour
sa valeur
![{\displaystyle h=\mathrm {B} \left({\frac {n^{2}\operatorname {tang} an}{\operatorname {tang} an-na}}-{\frac {3}{a^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85968cc2eebc0fc9dce2a05c9508d91b74373d09)
expression qui devient nulle au centre. On voit, par le no 30 du Livre cité, que cette expression de
est la seule admissible dans la question présente ; par le même numéro, l’ellipticité de la Terre est à la surface, où ![{\displaystyle a=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c719ce6f8fad017c15d42295b27512f43c6208)
![{\displaystyle {\frac {\alpha \varphi h\int \rho 'ada}{2h\int \rho 'ada-{\cfrac {2}{5}}a^{5}h\pi +{\cfrac {2}{5}}\int a^{5}hd\pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8450aff23cb24b4e688b69fd16d53f15d508e68)
les intégrales étant prises depuis
nul ;
est le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur. Substituant, au lieu de
et, au lieu de
sa valeur précédente, on aura
![{\displaystyle \int a^{5}hd\pi =-n^{2}\mathrm {B} \int a^{3}\left(\rho '-{\frac {3\rho '}{n^{2}a^{2}}}+{\frac {3d\rho '}{n^{2}ada}}\right)da\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8d15c99cc6b171555f38626ec8dbd32e01e9ad2)
on aura facilement cette intégrale, en observant que l’on a généralement
![{\displaystyle \int a^{i}\rho 'da=-{\frac {1}{n^{2}}}\int a^{i}{\frac {d^{2}\rho '}{da}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edf4b907e6b8cf114fa42d16c2145f16c4d2d7b1)
et en intégrant par parties. On trouvera ainsi à la surface de la Terre, où
l’ellipticité égale à
![{\displaystyle {\frac {{\cfrac {5}{2}}\alpha \varphi \left(1-{\cfrac {3q}{n^{2}}}\right)}{3-q-{\cfrac {n^{2}}{q}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1ce5a84f70ca942c4fa61896d795dd4f9a36ed)
Je dois observer ici que M. Legendre a déjà déterminé l’aplatissement de la Terre, dans le cas où la densité
des couches est exprimée par
(Mémoires de l’Académie des Sciences, année 1789).
En combinant les phénomènes de la précession et de la nutation avec les inégalités lunaires dépendantes de l’aplatissement de la Terre et avec les observations des degrés des méridiens et de la pesanteur.