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fonction est donc de l’ordre $4$ en $u$ et, par conséquent, de l’ordre $-4$ en $r,$ ce qui donne $r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=-4\mathrm {R} .$ De plus, lorsqu’il s’agit des inégalités dont l’argument ne dépend que des éléments du mouvement lunaire, on a $\int \delta d\mathrm {R} =\delta \mathrm {R} .$ Enfin, le terme $-\delta r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}$ est de l’ordre $\delta ^{2}$ lorsqu’on ne considère, dans la force perturbatrice $\mathrm {R} ,$ que la partie relative à la différence des hémisphères terrestres ; en négligeant donc les quantités de l’ordre de $\delta ^{2},$ la formule $(a)$ devient

${\frac {5dt^{2}\mathrm {Q} }{r^{2}dv'}}.$

En substituant pour $dt$ sa valeur elliptique ${\frac {r^{2}dv'}{\sqrt {a}}},$ et ensuite pour ${\frac {r^{2}dv'}{\sqrt {a}}}$ sa valeur elliptique ${\frac {dv}{hu^{2}}},$ et pour $\mathrm {Q}$ sa valeur précédente, ce terme devient

${\frac {5\mathrm {H} u^{2}dv\sin 3fv}{h^{2}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}}.$

En y substituant pour $u$ et $s$ leurs valeurs elliptiques précédentes, en le développant et observant que $h^{2}$ diffère très peu de $a,$ on voit que l’expression différentielle de la longitude vraie contient le terme

${\frac {15\mathrm {H} e\gamma ^{2}dv}{4a^{3}}}\sin(3fv-2gv-cv).$

Mais ce terme n’est pas le seul de ce genre : l’action du Soleil donne dans $\mathrm {Q} ,$ par le n^o 3 du Livre VII, en prenant pour unité la somme des masses de la Terre et de la Lune, le terme

${\frac {m^{2}}{4a^{3}u^{2}}}\left(1-2s^{2}\right)\quad {\text{ou}}\quad {\frac {m^{2}r^{2}}{4a^{3}}}\left(1-3s^{2}\right)\,;$

en prenant donc ce terme pour $-\mathrm {R} ,$ et observant que $\int \delta d\mathrm {R} =\delta \mathrm {R} ,$ et que $\delta r$ est $-{\frac {\delta u}{u^{2}}}+{\frac {s\delta s}{u}}\,;$ enfin, en substituant pour ${\frac {dt^{2}}{r^{2}dv'}}$ sa valeur fort approchée ${\frac {dv}{au^{2}}},$ pour $\delta u$ et $\delta s$ leurs valeurs précédentes, la fonc-