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tion $(a)$ donne le terme

${\frac {-27m^{2}e\gamma ^{2}\mathrm {H} dv\sin(3fv-2gv-cv)}{4a^{3}(3f-2g-c)}}.$

En réunissant ce terme au précédent, l’expression différentielle de la longitude vraie de la Lune contiendra le terme

$(b)\quad \qquad {\frac {3e\gamma ^{2}\mathrm {H} dv}{4a^{3}}}\left[5-{\frac {9m^{2}}{(3f-2g-c)}}\right]\sin(3fv-2gv-cv).$

Le terme $(b)$ est rapporté à l’orbite de la Lune. Pour le rapporter à l’écliptique, il faut, par le Chapitre II cité ^[1], lui ajouter ce que produit la fonction $\left({\frac {1}{2}}s^{2}-{\frac {1}{2}}{\frac {ds^{2}}{dv^{2}}}\right)dv,$ lorsqu’on y substitue pour $s$

$\gamma \sin gv+{\frac {3\mathrm {H} e\gamma }{2h^{6}(3f-2g-c)}}\cos(3fv-gv-cv).$

Le terme qui en résulte est

${\frac {3\mathrm {H} e\gamma ^{2}dv}{4h^{6}(3f-2g-c)}}\left[g(3f-g-c)-1\right]\sin(3fv-2gv-cv).$

En l’ajoutant au précédent $(b),$ en intégrant et observant que $g^{2}-1$ est à peu près ${\frac {3}{2}}m^{2},$ on aura, dans l’expression de la longitude vraie de la Lune, rapportée à l’écliptique, l’inégalité

${\frac {9\mathrm {H} e\gamma ^{2}}{8a^{3}(3f-2g-c)}}\left({\frac {5m^{2}}{3f-2g-c}}-4\right)\cos(3fv-2gv-cv).$

Enfin, la formule (T) du n^o 46 du second Livre de la Mécanique céleste donne, dans l’expression de la longitude vraie, la fonction

${\frac {2d(r\delta r)-dr\delta r}{r^{2}dv'}},$

ce qui produit le terme

${\frac {-3\mathrm {H} e\gamma ^{2}}{8a^{3}(3f-2g-c)}}\cos(3fv-2gv-cv),$

qu’il faut ajouter au précédent.

1. Œuvres de Laplace, Tome III, p. 271.