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facilement que la fonction précédente, en y substituant $mv$ au lieu de $v',$ ce que l’on peut faire en négligeant les termes de l’ordre $m^{4},$ produit le terme

${\frac {15}{8}}\mathrm {A} ^{(1)}\mathrm {A} ^{(24)}m^{2}dve^{2}\gamma ^{2}\cos(2gv-cv).$

Si l’on désigne par $\mathrm {A} ^{(22)}$ le coefficient de $e\gamma ^{2}\cos(2v-2mv+cv-2gv)$ dans l’expression de $\delta u,$ on trouve encore que la fonction $(c)$ produit le terme

${\frac {15}{8}}\mathrm {A} ^{(22)}m^{2}dve^{2}\gamma ^{2}\cos(2gv-2cv).$

Il nous reste à considérer les termes du développement de la fonction $(c),$ dépendant de $\delta s.$ En désignant par $\mathrm {B} ^{(0)}\gamma \sin(2v-2mv-gv)$ le terme de $\delta s$ dépendant de cet argument, $\mathrm {B} ^{(0)}$ étant de l’ordre $m,$ la fonction $(c)$ produit le terme de l’ordre $m^{3}$

${\frac {15}{16}}\mathrm {B} ^{(0)}m^{2}dve^{2}\gamma ^{2}\cos(2gv-2cv).$

Si l’on désigne par $\mathrm {B} ^{(11)}e^{2}\gamma \sin(2v-2mv-2cv+gv)$ la partie de $\delta s$ dépendant de cet argument, la fonction $(c)$ produit le terme

$-{\frac {3}{8}}\mathrm {B} ^{(11)}m^{2}dve^{2}\gamma ^{2}\cos(2gv-2cv).$

En réunissant tous ces termes, le développement de la fonction $(b)$ produit le terme suivant, dans l’expression de $d\delta v,$

$(e)\left\{{\begin{aligned}m^{2}dv&\left({\frac {5}{4}}\mathrm {A} ^{(24)}-{\frac {1}{2}}\mathrm {A} ^{(40)}+{\frac {1}{4}}\mathrm {B} ^{(13)}+{\frac {15}{8}}\mathrm {A} ^{(1)}\mathrm {A} ^{(24)}\right.\\&\qquad \qquad \left.+{\frac {15}{8}}\mathrm {A} ^{(22)}+{\frac {15}{16}}\mathrm {B} ^{(0)}-{\frac {3}{8}}\mathrm {B} ^{(11)}\right)e^{2}\gamma ^{2}\cos(2gv-2cv).\end{aligned}}\right.$

Pour avoir la valeur de $d\delta v,$ rapportée à l’écliptique, il faut, par le Chapitre II du Livre VII, ajouter à la valeur de $dv,$ sur l’orbite la fonction

$dv\left({\frac {1}{2}}s^{2}-{\frac {1}{2}}{\frac {ds^{2}}{dv^{2}}}\right).$