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ment, en puissances du cosinus de l’angle $x,$ si l’on considère le premier de ces cosinus comme une quantité connue et le second comme une inconnue, on aura, pour déterminer cette inconnue, en supposant

$a=\cos nx\quad {\text{et}}\quad y=\cos x,$

l’équation

$a=2^{n-1}y^{n}-n.2^{n-3}y^{n-2}+{\frac {n(n-3)}{1.2}}2^{n-5}y^{n-4}-{\frac {n(n-3)(n-5)}{1.2.3}}2^{n-7}y^{n-6}+\ldots .$

Cette équation peut donc être résolue par la division d’un arc en parties égales ; et, si l’on nomme $\mathrm {A}$ le plus petit des arcs, dont le cosinus est $a,$ les diverses valeurs de $y$ seront exprimées par $\cos \left({\frac {2ic+\mathrm {A} }{n}}\right),$ pouvant s’étendre depuis $i=0$ jusqu’à $i=n-1.$

Il suit de ce qui précède que

${\sqrt[{n}]{a\pm {\sqrt {a^{2}-1}}}}=\cos \left({\frac {2ic+\mathrm {A} }{n}}\right)\pm {\sqrt {-1}}\sin \left({\frac {2ic+\mathrm {A} }{n}}\right),$

ce qui donne

$y=\cos \left({\frac {2ic+\mathrm {A} }{n}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {a^{2}-1}}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a-{\sqrt {a^{2}-1}}}}.$

Ainsi l’expression de $y$ peut être mise sous une forme indépendante des cosinus et, sous cette forme, elle embrasse le cas où $a$ est plus grand que l’unité.

Lorsque $a$ est moindre que l’unité, les racines de l’équation sont toutes réelles, et elles offrent la même singularité que le cas irréductible des équations du troisième degré, celle d’être la somme de deux imaginaires. En effet, nous verrons bientôt que l’équation du troisième degré est alors comprise dans la précédente.

Les expressions du sinus et de la tangente de l’angle nx, en puissances du sinus et de la tangente de l’angle $x,$ fournissent pareillement des équations d’un degré indéfini, qui peuvent être résolues par la division de l’angle en parties égales.

De là résulte un moyen facile de résoudre les équations du troisième et du quatrième degré, en faisant usage des Tables de sinus. Ce moyen