rence ; on aura donc, pour les deux valeurs de
![{\displaystyle x={\sqrt {q}}\operatorname {tang} u,\qquad x={\sqrt {q}}\operatorname {tang} \left({\frac {c}{2}}-u\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aaecf49e123684ef63e3012c6d14046bf90864e)
Si l’on a
![{\displaystyle z-{\frac {1}{z}}={\frac {-p}{\sqrt {q}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dbc4909d20dc9cb2a7649dfc6494048cea15adc)
on fera encore
ce qui donne
![{\displaystyle z-{\frac {1}{z}}=-{\frac {2}{\operatorname {tang} 2u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b3a522b5f4ba9b616ae1004e790d729de268a0)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \operatorname {tang} 2u={\frac {2{\sqrt {q}}}{p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b07a2a02a8f0f08e87a7049ff79eccd758e321e)
Les Tables des sinus feront connaître le plus petit des angles qui répondent à cette expression de
prise positivement ; cet angle, affecté du même signe que cette expression, sera la valeur de
Mais à la tangente de
répondent les deux arcs
et
on aura donc
![{\displaystyle x={\sqrt {q}}\operatorname {tang} u,\qquad x={\sqrt {q}}\operatorname {tang} \left({\frac {c}{2}}+u\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314a5dcb8466f02862461305d036dc3f6ac06547)
Considérons présentement l’équation du troisième degré
![{\displaystyle x^{3}\mp px+q=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b950c526c093eaedaabd65c1f7bf8a8af5baf7de)
étant positif. Supposons
nous aurons
![{\displaystyle x^{3}\mp px+q=r^{3}\left(z^{3}\pm {\frac {1}{z^{3}}}\right)\pm \left(3r^{3}-pr\right)\left(z\pm {\frac {1}{z}}\right)+q=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b0279d44455a6cf01a8b59a9e45238d7b10d7f)
Soit
et
on aura
![{\displaystyle z^{3}\pm {\frac {1}{z^{3}}}=2h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c6604b3d1d86026b721acc4e5b79787f1660e5f)
Cette équation en
est du sixième degré, mais résoluble à la manière de celles du deuxième degré, ce qui donne un nouveau moyen de résoudre les équations du troisième degré.