Supposons d’abord que le signe supérieur ait lieu et que
abstraction faite du signe, soit moindre que l’unité ; alors
est une quanfité négative et l’équation proposée tombe dans le cas irréductible. Si l’on fait
on aura
![{\displaystyle x={\sqrt {\frac {p}{3}}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)=2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\cos u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb5fe31486c36795373c7583adfe2bcdd7205e8)
on aura ensuite
![{\displaystyle z^{3}+{\frac {1}{z^{3}}}=2\cos 3u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1553f4deaa16d34d3a5b99fa8511cb4c02e2ee91)
partant,
Soit
le plus petit des angles dont le cosinus est
et que les Tables feront connaître ; on aura, pour
les trois valeurs ![{\displaystyle \mathrm {A} ,\ 2c+\mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627438c8825276b3f3f0698309b92dd97f952ce5)
et, par conséquent, les trois valeurs de
seront
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\cos {\frac {1}{3}}\mathrm {A} ,\\x=&2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\cos \left({\frac {2c+\mathrm {A} }{3}}\right),\\x=&2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\cos \left({\frac {4c+\mathrm {A} }{3}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/633e5507d867559b0c3ee9c0fd140a8992467f2b)
Remarquez bien ici l’usage des quantités imaginaires pour déterminer les quantités réelles ; la valeur de
exprime le radical imaginaire dont la racine de l’équation du troisième degré est composée dans le cas irréductible ; mais, sous cette forme, on voit clairement que les imaginaires disparaissent de l’expression de
qui est égale à
Ainsi, la considération des quantités imaginaires qui embarrassaient beaucoup les premiers analystes est devenue, par leur comparaison avec l’expression
facile et d’un grand usage dans l’Analyse, et vous aurez occasion d’en voir des applications nombreuses dans le Calcul infinitésimal.
Si
abstraction faite du signe, est plus grand que l’unité, on fera
![{\displaystyle z^{3}=\operatorname {tang} u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bafbe5cbc4a987c3515ae1b24ecac6d9ea921a45)