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on aura donc

(9)

$\int {\frac {dxe^{-fx}\sin gx}{x^{\alpha +1}}}={\frac {k}{\alpha (1-\alpha )\left(f^{2}+g^{2}\right)^{\frac {1-\alpha }{2}}}}(g\cos \mathrm {A} -f\sin \mathrm {A} )\,;$

en supposant $f$ nul et $g=1,$ on a

$\operatorname {tang} {\frac {\varphi }{1-\alpha }}={\frac {1}{0}}=\infty ,$

ce qui donne

${\frac {\varphi }{1-\alpha }}={\frac {\pi }{2}},$

et, par conséquent,

$\mathrm {A} ={\frac {\pi }{2}}(1-\alpha )\,;$

alors il est visible que les équations (7), (8), (9) coïncident avec les équations (3), (4), (5).

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Sur l’intégration des équations aux différences finies, non linéaires.

Jusqu’à présent, les géomètres se sont principalement occupés des équations aux différences finies, linéaires ; ce sont, en effet, celles qui se présentent le plus fréquemment dans ce genre d’analyse : mais la considération des équations non linéaires pouvant être utile, je vais exposer ici une méthode pour les intégrer dans plusieurs cas.

J’ai déjà observé que l’intégration des équations aux différences finies n’est, au fond, qu’une élimination entre un nombre quelconque d’équations semblables. En désignant donc par $x^{(n)}$ et $x^{(n+1)}$ les deux variables d’une équation donnée entre elles, cette équation se changera dans une équation aux différences finies. Pour l’intégrer, différentions cette équation par rapport aux différences infiniment petites $dx^{(n)}$ et $dx^{(n+1)}\,;$ on pourra, au moyen de l’équation proposée et de sa différentielle, parvenir à une équation de cette forme.

$dx^{(n)}\varphi \left(x^{(n)}\right)=dx^{(n+1)}\psi \left(x^{(n+1)}\right),$