Pour diviser une fraction par une autre il faut multiplier la fraction dividende par l’autre fraction renversée.
On appelle nombre premier un nombre qui n’a d’autres diviseurs que lui-même et l’unité. Deux nombres sont premiers entre eux lorsqu’ils n’ont d’autre commun diviseur que l’unité. Si les deux termes d’une fraction sont premiers entre eux, elle est alors réduite à sa plus simple expression. Pour réduire une fraction quelconque à cet état il faut diviser chacun de ses deux termes par leur plus grand commun diviseur, que l’on obtient ainsi : divisez le plus grand terme par le plus petit ; divisez ensuite ce plus petit terme par le reste de la division ; ce premier reste par le reste de la deuxième division ; ce deuxième reste par le troisième, et ainsi de suite jusqu’à ce que vous parveniez à une division sans reste. Le dernier diviseur sera le plus grand commun diviseur cherché.
En examinant avec attention cette suite de divisions, il est facile de voir que, si le numérateur de la fraction est moindre que son dénominateur, on peut lui donner la forme d’une fraction dont le numérateur est l’unité, et dont le dénominateur est le quotient de la première division, augmenté d’une fraction dont le numérateur est l’unité, et dont le dénominateur est le quotient de la deuxième division, augmenté d’une fraction dont le numérateur est l’unité, et dont le dénominateur est le quotient de la troisième division, plus, etc. Cette suite de fractions ainsi enchaînées les unes aux autres se nomme fraction continue. On peut donner cette forme aux nombres décimaux qui ne sont que des fractions dont le dénominateur est dix, ou cent, ou mille, etc. Si le nombre des décimales est infini, la fraction continue se prolonge à l’infini, à moins que le nombre décimal ne soit une fraction ordinaire, réduite par la division en parties décimales, auquel cas la fraction continue se termine ; et cela a généralement lieu toutes les fois que la fraction continue est l’expression du rapport de deux nombres entiers.
La théorie de ces fractions n’est point un pur jeu de l’esprit ; elle est importante dans l’Analyse et elle a conduit à plusieurs vérités curieuses.
