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de gravité de la Terre,

${\rm {Y}}^{(1)}=0,\qquad {\rm {Y}}^{(3)}=0,\qquad {\rm {Y}}^{(4)}=0,\ldots$

${\rm {Y}}^{(2)}=-h\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),$

$h$ étant une fonction de $a$ ; on a de plus

${\rm {Z}}^{(1)}=0,\qquad {\rm {Z}}^{(3)}=0,\qquad {\rm {Z}}^{(4)}=0,\ldots$

$\alpha {\rm {Z}}^{(2)}=-{\frac {\alpha \varphi }{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).{\frac {4\pi }{3}}\int \rho d.a^{3}\,;$

l’équation (2) du n^o 29 donnera donc, à la surface,

(1)

$0=6\int \rho d\left(a^{5}h\right)+5(\varphi -2h)\int \rho d.a^{3}.$

Cette équation renferme la loi qui doit exister, pour l’équilibre, entre les densités des couches du sphéroïde et leurs ellipticités ; car, le rayon d’une couche étant $a\left[1+\alpha {\rm {Y}}^{(0)}\alpha h\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\right],$ si l’on suppose, comme cela est permis, ${\rm {Y}}^{(0)}=-{\frac {1}{3}}h,$ ce rayon devient $a\left(1-\alpha h\mu ^{2}\right),$ et alors $\alpha h$ est l’ellipticité de la couche.

À la surface du sphéroïde, le rayon est $1-\alpha h\mu ^{2},$ d’où l’on voit que les diminutions des rayons, en allant de l’équateur aux pôles, sont proportionnelles à $\mu ^{2},$ et par conséquent au carré du sinus de la latitude.

L’accroissement des degrés du méridien, de l’équateur aux pôles, est, par le numéro précédent, égal à $3\alpha hc\mu ^{2},\ c$ étant le degré de l’équateur ; il est donc encore proportionnel au carré du sinus de la latitude.

L’équation (1) nous montre que, les densités étant supposées diminuer du centre à la surface, l’ellipticité du sphéroïde est moindre que dans le cas de l’homogénéité, à moins que les ellipticités n’aillent en augmentant, de la surface au centre, dans un plus grand rapport que la raison inverse du carré des distances à ce centre. En effet, si l’on suppose $h={\frac {u}{a^{2}}}$ on aura

$\int \rho d\left(a^{5}h\right)=\int \rho d\left(a^{3}u\right)=u\int \rho d.a^{3}+\int \left(du\int a^{3}d\rho \right).$

Si les ellipticités croissent dans un moindre rapport que ${\frac {1}{a^{2}}},\ u$ aug