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mente du centre à la surface, et par conséquent $du$ est positif ; d’ailleurs, $d\rho$ est négatif, par la supposition que les densités diminuent du centre à la surface ; ainsi $\int \left(du\int a^{3}d\rho \right)$ est une quantité négative, et, en faisant à la surface

$\int \rho d\left(a^{5}h\right)=(h-f)\int \rho d.a^{3},$

$f$ sera une quantité positive. Cela posé, l’équation (1) donnera

$h={\frac {5\varphi -6f}{4}}\,;$

$\alpha h$ sera donc moindre que ${\frac {5\alpha \varphi }{4}}$ et par conséquent il sera plus petit que dans le cas de l’homogénéité, où, $d\rho$ étant nul, $f$ est égal à zéro.

Il suit de là que, dans les hypothèses les plus vraisemblables, l’aplatissement du sphéroïde est moindre que ${\frac {5\alpha \varphi }{4}}\,;$ car il est naturel de penser que les couches du sphéroïde sont plus denses en approchant du centre, et que les ellipticités augmentent de la surface au centre, dans un moindre rapport que ${\frac {1}{a^{2}}},$ ce rapport donnant un rayon infini aux couches infiniment voi\sines du centre, ce qui est absurde. Ces suppositions sont d’autant plus vraisemblables, qu’elles deviennent nécessaires dans le cas où le sphéroïde a été originairement fluide ; alors les couches les plus denses sont, comme on l’a vu, les plus voi\sines du centre, et les ellipticités, loin d’augmenter en allant de la surface au centre, vont, au contraire, en diminuant.

Si l’on suppose que le sphéroïde soit un ellipsoïde de révolution, recouvert d’une masse fluide homogène d’une profondeur quelconque ; en nommant $a'$ le demi-petit axe de l’ellipsoïde solide et $\alpha h'$ son ellipticité, on aura, à la surface du fluide,

$\int \rho d\left(a^{5}h\right)=h-a'^{5}h'+\int \rho d\left(a^{5}h\right),$

l’intégrale du second membre de cette équation étant prise, relativement à l’ellipsoïde intérieur, depuis son centre jusqu’à sa surface, et la densité du fluide qui le recouvre, étant prise pour unité. L’équa-