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lesquelles chacune de ces erreurs est la plus petite ; ainsi $x^{(1)}$ est la plus petite des erreurs depuis $y=-\infty$ jusqu’à $y=\lambda ^{(1)}\,;\ x^{(s)}$ est la plus petie des erreurs depuis $y=\lambda ^{(1)}$ jusqu’à $y=\lambda ^{(2)}$ et ainsi du reste. Cela posé,

La valeur de $y$ qui appartient à l’ellipse cherchée sera l’une des quantités ${\text{ϐ}}^{(1)},{\text{ϐ}}^{(2)},{\text{ϐ}}^{(3)},\ldots ,\lambda ^{(1)},\lambda ^{(2)},\lambda ^{(3)},\ldots \,;$ elle sera dans la première suite, si les deux erreurs extrêmes de même signe sont positives. En effet, ces deux erreurs étant alors les plus grandes, elles sont dans la suite $x^{(1)},x^{(r)},x^{(r')},\ldots \,;$ et, puisqu’une même valeur de $y$ les rend égales, elles doivent être consécutives, et la valeur de $y$ qui leur convient ne peut être qu’une des quantités ${\text{ϐ}}^{(1)},{\text{ϐ}}^{(2)},\ldots ,$ parce que deux de ces erreurs ne peuvent être à la fois rendues égales et les plus grandes que par l’une de ces quantités. Voici maintenant de quelle manière on déterminera celle des quantités ${\text{ϐ}}^{(1)},{\text{ϐ}}^{(2)},\ldots ,$ qui doit être prise pour $y$.

Concevons, par exemple, que ${\text{ϐ}}^{(3)}$ soit cette valeur ; il doit alors se trouver, par ce qui précède, entre $x^{(r')}$ et $x^{(r'')}$ une erreur qui sera le minimum de toutes les erreurs, puisque $x^{(r')}$ et $x^{(r'')}$ seront les maxima de ces erreurs ; ainsi, dans la suite $x^{(1)},x^{(s)},x^{(s')},\ldots ,$ quelqu’un des nombres $s,s',\ldots$ sera compris entre $r'$ et $r''.$ Supposons que ce soit $s.$ Pour que $x^{(s)}$ soit la plus petite des erreurs, la valeur de $y$ doit être comprise depuis $\lambda ^{(1)}$ jusqu’à $\lambda ^{(2)}\,;$ donc, si ${\text{ϐ}}^{(3)}$ est compris dans ces limites, il sera la valeur cherchée de $y,$ et il sera inutile d’en chercher d’autres. En effet, supposons que l’on retranche celle des équations (A) qui répond à $x^{(s)}$ successivement des deux équations qui répondent à $x^{(r')}$ et à $x^{(r'')}\,;$ on aura

${\begin{aligned}a(r')-a(s)-(p(r')-p(s))y&=x(r')-x(s),\\a(r'')-a(s)-(p(r'')-p(s))y&=x(r'')-x(s).\end{aligned}}$

Tous les membres de ces équations étant positifs, en supposant $y={\text{ϐ}}^{(3)},$ il est clair que, si l’on augmente $y,$ la quantité $x(r')-x(s)$ augmentera ; la somme des erreurs extrêmes, prise positivement, en sera donc augmentée. Si l’on diminue $y,$ la quantité $x(r'')-x(s)$ en sera augmen-