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donc ainsi, d’une manière fort approchée, les oscillations de la mer, dans le cas où sa profondeur est partout la même.

6. La valeur de $c$ du n^o 3 est très-grande dans les oscillations de la première espèce, à cause du diviseur $i$ qui affecte plusieurs de ses termes. Si l’on développe la partie

${\frac {\rm {L}}{4r^{3}}}\left(\sin ^{2}v-{\frac {1}{2}}\cos ^{2}v\right)(1+3\cos 2\theta )$

de l’action de la Lune, qui produit les oscillations de la première espèce, en sinus et cosinus d’angles croissants proportionnellement au temps ; que l’on désigne par $\alpha k(1+3\cos 2\theta )\cos(it+{\rm {A)}}$ un terme quelconque de ce développement ; $k$ sera multiplié par la tangente de l’inclinaison de l’orbe lunaire à l’écliptique, dans le terme où $it$ sera le moyen mouvement des nœuds de l’orbite lunaire ; mais, à raison de la petitesse de $i,$ ce terme sera très-considérable et le plus grand de tous ceux qui entrent dans l’expression de $c.$

Nous devons cependant faire ici une observation importante. Les résistances que les eaux de la mer éprouvent doivent considérablement diminuer les oscillations de cette espèce et leur laisser très-peu d’étendue. Pour le faire voir, supposons la résistance proportionnelle à la vitesse, et nommons ϐ le coefficient de cette résistance. Les deux équations dans lesquelles se partage l’équation (2) du n^o 1 seront alors

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-2n{\frac {\partial v}{\partial t}}\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}+{\text{ϐ}}{\frac {\partial u}{\partial t}}&=g{\frac {\partial y}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}-{\frac {\partial {\rm {V'}}}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}},\\{\frac {\partial ^{2}v}{\partial t^{2}}}+{\frac {2n\mu {\frac {\partial u}{\partial t}}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}+{\text{ϐ}}{\frac {\partial v}{\partial t}}&=-{\frac {g{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}}{1-\mu ^{2}}}+{\frac {\frac {\partial {\rm {V'}}}{\partial \varpi }}{1-\mu ^{2}}}\,;\end{aligned}}$

car il est clair que la résistance doit ajouter aux deux premiers membres de ces équations les termes ${\text{ϐ}}{\frac {\partial u}{\partial t}}$ et ${\text{ϐ}}{\frac {\partial v}{\partial t}}$ : l’équation (1) du n^o 1 subsistera toujours.

Nous ne considérerons ici que les termes dépendants de l’angle $it$