Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/219

dans lesquels le coefficient $i$ est très-petit et beaucoup moindre que ϐ. Dans ce cas, ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$ et ${\frac {\partial ^{2}v}{\partial t^{2}}}$ peuvent être négligés par rapport à ${\text{ϐ}}{\frac {\partial u}{\partial t}}$ et ${\text{ϐ}}{\frac {\partial v}{\partial t}},$ et comme ces termes sont indépendants de l’angle $\varpi ,$ la dernière des équations précédentes donnera

${\frac {2n\mu {\frac {\partial u}{\partial t}}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}+{\text{ϐ}}{\frac {\partial v}{\partial t}}=0,$

et l’avant-dernière deviendra

(f)

${\frac {{\text{ϐ}}^{2}+4n^{2}\mu ^{2}}{\text{ϐ}}}{\frac {\partial u}{\partial t}}=g{\frac {\partial y}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}-{\frac {\partial {\rm {V'}}}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\,;$

cette équation doit être combinée avec celle-ci

$y={\frac {\partial .\gamma u{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}.$

Si l’on néglige les quantités de l’ordre $i,$ l’équation (f) donne

$0=g{\frac {\partial y}{\partial \mu }}-{\frac {\partial {\rm {V'}}}{\partial \mu }},$

ou

$gy-{\rm {V'=0\,;}}$

partant,

$u=\int {\frac {{\rm {V}}'d\mu }{g\gamma {\sqrt {1-\mu ^{2}}}}}.$

Cette valeur de $u,$ substituée dans l’équation (f), donnera une valeur plus approchée de $gy-{\rm {V'\,;}}$ mais on peut s’en tenir à la première approximation.

La partie de ${\rm {V'}}$ relative à l’action de l’astre ${\rm {L}}$ est de la forme

$k(1+3\cos ^{2}\theta )\cos(it+{\rm {A),\quad }}$ou$\quad 6k\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\cos(it+{\rm {A).}}$

Soit $Q\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\cos(it+{\rm {A)}}$ la partie correspondante de $y\,;$ la partie correspondante de ${\rm {V'}}$, due à l’action de la couche aqueuse dont, le rayon