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différences partielles ; or on a

${\rm {U}}^{(0)}={\frac {1}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}},$

puisque, en n’ayant égard qu’au premier terme de la série, nous avons trouvé, dans le n^o 4,

${\rm {V}}={\frac {\rm {M}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}\,;$

en substituant donc cette valeur de ${\rm {U}}^{(0)}$ dans la formule précédente, on aura celle de ${\rm {U}}^{(1)}$ au moyen de celle de ${\rm {U}}^{(1)}$ on aura celle de ${\rm {U}}^{(2)}$ et ainsi de suite. Mais il est remarquable qu’aucune de ces quantités ne renferme $k$ ; car il est clair par la formule (3) que, ${\rm {U}}^{(0)}$ ne renfermant point $k,\ {\rm {U}}^{(1)}$ ne le renfermera pas ; que, ${\rm {U}}^{(1)}$ ne le renfermant point, ${\rm {U}}^{(2)}$ ne le renfermera pas, et ainsi du reste ; en sorte que la série entière ${\rm {U}}^{(0)}+{\rm {U}}^{(1)}+{\rm {U}}^{(2)}+\ldots$ est indépendante de $k,$ ou, ce qui revient au même, ${\frac {\partial v}{\partial k}}=0.$ Les valeurs de $v,-{\frac {\partial v}{\partial a}},-{\frac {\partial v}{\partial b}},-{\frac {\partial v}{\partial c}}$ sont donc les mêmes pour tous les sphéroïdes elliptiques semblablement situés et qui ont les mêmes excentricités ${\sqrt {\theta }}$ et ${\sqrt {\varpi }}$ ; or $-{\rm {M}}{\frac {\partial v}{\partial a}},-{\rm {M}}{\frac {\partial v}{\partial b}},-{\rm {M}}{\frac {\partial v}{\partial c}}$ expriment, par le n^o 4, les attractions du sphéroïde parallèlement à ses trois axes ; donc les attractions de différents sphéroïdes elliptiques qui ont le même centre, la même position des axes et les mêmes excentricités, sur un point extérieur, sont entre elles comme leurs masses.

Il est aisé de voir, par la formule (3), que les dimensions de ${\rm {U}}^{(0)},{\rm {U}}^{(1)},{\rm {U}}^{(2)},\ldots$ en ${\sqrt {\theta }}$ et ${\sqrt {\varpi }}$ croissent de deux en deux unités, en sorte que $s=2i,\ s'=2i+2$ ; on a d’ailleurs, par la nature des fonctions homogènes.

$\varpi {\frac {\partial {\rm {U}}^{(i)}}{\partial \varpi }}=i{\rm {U}}^{(i)}-\theta {\frac {\partial {\rm {U}}^{(i)}}{\partial \theta }}\,;$