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$i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon$ sous la forme suivante

${\begin{aligned}&{\rm {Q}}\cos[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon ]\\+&{\rm {Q'}}\sin[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon ]\end{aligned}}$

et l’on aura

${\begin{aligned}3a\iint ndtd{\rm {R}}&={\frac {(6-3i)n^{2}a}{\left[in'+(2-i)n\right]^{2}}}\left({\rm {Q}}+{\frac {2{\frac {d{\rm {Q}}'}{dt}}}{in'+(2-i)n}}\right)\\&\qquad \qquad \times \sin[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon ]\\\\&-{\frac {(6-3i)n^{2}a}{\left[in'+(2-i)n\right]^{2}}}\left({\rm {Q'}}-{\frac {2{\frac {d{\rm {Q}}}{dt}}}{in'+(2-i)n}}\right)\\&\qquad \qquad \times \cos[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon ].\end{aligned}}$

La formule (Y) du n^o 4-6 du Livre II donnera ainsi

(D)

$\left\{{\begin{aligned}\delta v&={\frac {2d(r\delta r)}{a^{2}.ndt}}-{\frac {1}{2}}\\&\times \left\{{\begin{aligned}&{\rm {(F+G)}}e^{2}\\sin\left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -2\varpi \right]\\&+{\rm {H}}ee'\\sin\left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -\varpi -\varpi '\right]\end{aligned}}\right\}\\\\&+\left[{\frac {(6-3i)n^{2}}{\left[in'+(2-i)n\right]^{2}}}\left({\rm {Q}}+{\frac {2a{\frac {d{\rm {Q}}'}{dt}}}{in'+(2-i)n}}\right)+{\frac {2na^{2}{\frac {\partial Q}{\partial a}}}{in'+(2-i)n}}\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \times \sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon \right]\\\\&-\left[{\frac {(6-3i)n^{2}}{\left[in'+(2-i)n\right]^{2}}}\left({\rm {Q'}}+{\frac {2a{\frac {d{\rm {Q}}}{dt}}}{in'+(2-i)n}}\right)+{\frac {2na^{2}{\frac {\partial Q'}{\partial a}}}{in'+(2-i)n}}\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \times \cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon \right].\end{aligned}}\right.$

Je supprime, pour plus d’exaplitude, le diviseur ${\sqrt {1-e^{2}}}$ dans cette expression de $\delta v,$ parce que ce diviseur n’affecte point, comme on l’a vu dans le n^o 65 du Livre II, la partie de cette expression qui a pour diviseur le carré de $in'+(2-i)n,$ et, dans le cas présent, cette partie est beaucoup plus grande que les autres. De plus, en vertu du même numéro, il faut appliquer cette partie de $\delta v$ au moyen mouvement de la planète $m,$ et, comme elle est à fort peu près égale à l’inégalité entière dépendante de l’angle $i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )$$+2nt+2\varepsilon ,$ on peut appliquer cette inégalité entière au moyen mouvement de $m.$

On aura les valeurs de ${\frac {d{\rm {P}}}{dt}},{\frac {d{\rm {P'}}}{dt}},{\frac {d{\rm {Q}}}{dt}},$ et ${\frac {d{\rm {Q'}}}{dt}},$ en différenciant les expressions de ${\rm {P,P',Q,Q'}}$ par rapport aux excentricités et aux inclinaisons des orbites, aux positions de leurs périhélies et de leurs nœuds, et en substituant, au lieu des différences de ces quantités, leurs valeurs. Mais on aura plus simplement ces valeurs de ${\frac {d{\rm {P}}}{dt}}$ etc.