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4. Les quantités ${\rm {F,G,G',H,H'}}$ sont déterminées par les approximations développées dans le Livre II : nous allons déterminer ${\rm {M}}$ et ${\rm {N.}}$ Pour cela, reprenons la valeur de ${\rm {R}}$ du n^o 46 du Livre II,

${\rm {R}}={\frac {m'(xx'+yy'+zz')}{r'^{3}}}-{\frac {m'}{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}},$

$r'$ étant ici le rayon vecteur de $m'.$ Prenons pour plan fixe celui de l’orbite primitive de $m,$ et pour ligne des abscisses $x$ la ligne des noeuds de l’orbite de $m'$ avec ce plan. Si l’on nomme $v$ l’angle formé par $r$ et par cette ligne, $v'$ l’angle formé par cette même ligne et par $r',$ et $\gamma$ la tangente de l’inclinaison respective des deux orbites, on aura

$\left\{{\begin{alignedat}{3}x=&r\cos v,&y=&r\sin v,&z=&0,\\x'=&r'\cos v',&y'=&{\frac {r'\sin v'}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}},&z'=&{\frac {r'\gamma \sin v'}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}},\end{alignedat}}\right\}$

ce qui donne, en négligeant la quatrième puissance de $\gamma ,$

${\rm {R}}={\frac {m'r}{r'^{2}}}\cos(v'-v)-{\frac {m'\gamma ^{2}}{4}}{\frac {r}{r'^{2}}}\left[\cos(v'-v)-\cos(v'+v)\right]$

$-{\frac {m'}{\sqrt {r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}}}}+{\frac {m'\gamma ^{2}}{4}}{\frac {rr'\left[\cos(v'-v)-\cos(v'+v)\right]}{\left[r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}.$

Supposons, comme dans le n^o 48 du Livre II,

${\frac {a}{a'^{2}}}\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )-\left[a^{2}-2aa'\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+a^{'2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}$

$={\frac {1}{2}}\sum {\rm {A}}^{(i)}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ),$

$\left[a^{2}-2aa'\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+a'^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}$

$={\frac {1}{2}}\sum {\rm {B}}^{(i)}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ),$

et représentons ${\rm {M}}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+{\rm {K}}\right]$ par

${\begin{aligned}&{\rm {M}}^{(0)}e^{2}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -2\varpi \right]\\+&{\rm {M}}^{(1)}ee'\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -2\varpi -\varpi '\right]\\+&{\rm {M}}^{(2)}e'^{2}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -2\varpi '\right]\\+&{\rm {M}}^{(3)}\gamma ^{2}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -2\Pi \right]\end{aligned}}$

$\Pi$ étant la longitude du nœud ascendant de l’orbite de $m'$ sur celle de $m,$ comptée de la ligne où l’on fixe l’origine de $nt+\varepsilon .$ On a, par