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${\begin{aligned}{\frac {\delta r'}{a'}}=&{\rm {H'}}\cos(4n't-2nt+4\varepsilon '-2\varepsilon +{\rm {A')}}\\&-e'{\rm {H'}}\cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -\varpi '+{\rm {A')}}\\&+e'{\rm {H'}}\cos(3n't-2nt+3\varepsilon '-2\varepsilon +\varpi '+{\rm {A')}}\\&-{\frac {10mn'}{5n'-2n}}\left[a'{\rm {P}}\sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\left.a'{\rm {P'}}\cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon )\right],\\\end{aligned}}$

${\rm {H'}}\cos(4n't-2nt+4\varepsilon '-2\varepsilon +{\rm {A')}}$ étant la partie de ${\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}$ dépendante de l’angle $4n't-2nt,$ et ${\rm {K}}'\sin(4n't-2nt+4\varepsilon '-2\varepsilon +{\rm {B')}}$ étant la partie de $\delta v'$ relative au même angle. Dans ces diverses inégalités, nous rapportons, pour plus de simplicité, l’origine des angles à l’intersection commune des deux orbites de Jupiter et de Saturne, comme nous l’avons fait dans le développement de l’expression de ${\rm {R}}$ du n^o 4, et comme nous le ferons dans le numéro suivant. Nous ne conserverons ainsi que pour l’analogie l’angle II, qu’il faut alors supposer nul.

On déterminera de la manière suivante les différences ${\frac {d{\rm {P}}}{dt}},\ {\frac {d^{2}{\rm {P}}}{dt^{2}}},\$${\frac {d{\rm {P'}}}{dt}},\ {\frac {d^{2}{\rm {P'}}}{dt^{2}}}.$ On calculera, pour l’époque de 1750 et pour une époque plus éloignée de deux cents années juliennes, c’est-à-dire pour 1950, les valeurs de ${\frac {de}{dt}},\ {\frac {d\varpi }{dt}},\ {\frac {de'}{dt}},\ {\frac {d\varpi '}{dt}},\ {\frac {dy}{dt}},\ {\frac {d\Pi }{dt}}.$ Soient ${\frac {de_{1}}{dt}},\ {\frac {d\varpi _{1}}{dt}},\ {\frac {de'_{1}}{dt}},\ldots$ ces valeurs pour la seconde de ces époques ; on aura, en supposant que $t$ exprime un nombre d’années juliennes,

${\frac {de_{1}}{dt}}={\frac {de}{dt}}+200{\frac {d^{2}e}{dt^{2}}},$

les différences $de$ et $d^{2}e$ dans le second membre de cette équation étant relatives à 1750. L’expression de $e$ pour un temps quelconque $t$ est, en négligeant le cube de $t$ et ses puissances supérieures,

$e+t{\frac {de}{dt}}+{\frac {t^{2}}{2}}{\frac {d^{2}e}{dt^{2}}},$

$e,\ {\frac {de}{dt}},\ {\frac {d^{2}e}{dt^{2}}},$ se rapportant à l’époque de 1750. Cette expression peut s’étendre à mille ou douze cents ans avant et après cette époque. On