La théorie des perturbations des comètes est l’objet du Livre IX. La grandeur des excentricités et des inclinaisons de leurs orbites ne permet pas d’appliquer à ces astres les formules relatives aux planètes et aux satellites. Il n’est pas possible, dans l’état actuel de l’Analyse, de représenter leurs mouvements par des expressions analytiques qui embrassent un nombre indéfini de révolutions, et l’on est réduit à les déterminer par parties et au moyen des quadratures. La méthode la plus simple pour y parvenir est celle dont on est redevable à Lagrange, et qui consiste à regarder l’orbite de la comète comme une ellipse sans cesse variable ; chaque élément elliptique est alors exprimé par l’intégrale d’une fonction différentielle, et l’Analyse offre divers moyens pour avoir cette intégrale d’une manière très-approchée. Je présente ici ces fonctions différentielles sous la forme qui m’a paru la plus commode, et je donne un moyen très-exact de les intégrer par approximation. J’aurais bien désiré d’appliquer cette méthode au prochain retour de la comète de 1759 ; mais, diverses occupations m’en ayant empêché, je me borne à la développer avec assez d’étendue pour que l’on n’éprouve dans ses applications d’autres difficultés que celles des substitutions numériques.
Je traite ensuite, par une analyse particulière, le cas d’une comète qui approche assez d’une planète pour que son orbite en soit totalement changée ; ce cas singulier mérite d’autant plus d’attention, qu’il paraît avoir été celui de la première comète de 1770. On connaît les tentatives infructueuses des astronomes pour assujettir les observations de cette comète aux lois du mouvement parabolique. Lexell reconnut enfin qu’elle avait décrit, pendant son apparition, l’arc d’une ellipse correspondante à une révolution d’un peu plus de cinq ans et demi. Burckhardt, par une discussion approfondie des observations de cette comète et des éléments elliptiques propres à les représenter, vient de confirmer ce résultat remarquable, qui ne doit maintenant laisser aucun doute. Mais, avec une révolution aussi prompte, cette comète aurait dû plusieurs fois reparaître : cependant on ne l’a point observée avant 1770, et, depuis, on ne l’a point revue. Pour expliquer
