dentes donneront les suivantes
(A)
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Il suffit de satisfaire à ces équations ; car, en réunissant les valeurs de
qui y satisfont aux valeurs de
relatives au mouvement elliptique et qui renferment six constantes arbitraires, on aura les intégrales complètes des trois équations différentielles primitives du mouvement de la comète.
2. Considérons la valeur de
dans les deux limites de la distance de la comète au Soleil. Lorsque le rapport
de son rayon vecteur à celui de la planète est une très-petite fraction, la valeur de
est très-petite relativement à celle de
et le rapport de la première à la seconde de ces deux valeurs est de l’ordre
Dans ce cas, on peut considérer à fort peu près
comme nul et le mouvement de la comète comme elliptique.
Si
est un grand nombre, c’est-à-dire si la comète est beaucoup plus loin du Soleil que la planète, en réduisant alors
dans une série descendante par rapport à
et négligeant dans cette série les termes de l’ordre
on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}={\frac {m'(x-x')}{r^{3}}}+{\frac {m'x'}{r'^{3}}}+3m'(xx'+yy'+zz'){\frac {x}{r^{5}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4eefe2e1e79c8185bdee70321feafb2ace0301)
l’équation différentielle en
devient donc
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}}+{\frac {\delta x}{r^{3}}}-{\frac {3x\left(x\delta x+y\delta y+z\delta z\right)}{r^{5}}}+{\frac {m'(x-x')}{r^{3}}}+{\frac {m'x'}{r'^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6872ed5a07a524bc0f5fa17c1b9c64e6eed0636b)
![{\displaystyle +3m'(xx'+yy'+zz'){\frac {x}{r^{5}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb88bebc23514a641c6e69d2f78278054e63a876)