étant le rayon vecteur de cette nouvelle ellipse, représentons par
et
les coordonnées correspondantes. On peut supposer cette ellipse entièrement semblable à celle dont les coordonnées sont
et décrite dans le même temps. Pour cela, il suffit que les forces attractives, dans les points correspondants des deux ellipses, soient entre elles comme
est à
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {1+m+m'}{(r+\delta r)^{2}}}:{\frac {1+m}{r^{2}}}=r+\delta r:r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f705b3b67756c226d141229991ac1f8ffa2ad960)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \delta r={\frac {1}{3}}m'r\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8417a4f3a47b746e7ae5b44ced788b8cb5d521d)
les coordonnées de la nouvelle ellipse sont, par conséquent,
![{\displaystyle \left(1+{\frac {m'}{3}}\right)x,\qquad \left(1+{\frac {m'}{3}}\right)y,\qquad \left(1+{\frac {m'}{3}}\right)z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1300e2394424196fb9859323f23b3311c2f31793)
Ces coordonnées sont rapportées au centre commun de gravité du Soleil et de la planète. Pour avoir ses coordonnées rapportées au centre du Soleil, il faut y ajouter les coordonnées de ce centre de gravité relativement au centre du Soleil, et ces coordonnées sont évidemment
les coordonnées de la comète, rapportées au centre du Soleil, seront donc
![{\displaystyle \left(1+{\frac {m'}{3}}\right)x+m'x',\quad \left(1+{\frac {m'}{3}}\right)y+m'y',\quad \left(1+{\frac {m'}{3}}\right)z+m'z'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f65da313c95ea6f2129b760e1aa7b780fe07dc)
ce qui est conforme à ce qui précède, et, comme ces coordonnées renferment six arbitraires, elles satisfont complètement aux équations différentielles du mouvement de la comète, lorsque l’on y suppose
![{\displaystyle {\rm {R}}=-{\frac {m'}{r}}-m'(xx'+yy'+zz')\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{r'^{3}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e8bbdb3d2fdcb15fe69232bd3ca2c6c04764b9)
Cela posé, soit généralement
![{\displaystyle {\rm {R'=R}}+{\frac {m'}{r}}+m'(xx'+yy'+zz')\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{r'^{3}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd7e2970a3565d80e57838169c31c55d6c5529d)