Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/388

372

MÉCANIQUE CÉLESTE.

Considérons généralement la puissance

$\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s},$

et supposons qu’en la développant dans une série ordonnée par rapport à $\cos \theta ,\cos 2\theta ,\ldots$ on ait la suite

${\frac {1}{2}}b_{s}^{(0)}+b_{s}^{(1)}\cos \theta +b_{s}^{(2)}\cos 2\theta +\ldots +b_{s}^{(i)}\cos i\theta +\ldots \,;$

on aura, par le n^o 49 du Livre II,

$(a)\qquad \qquad (i-s)\alpha b_{s}^{(i)}=(i-1)\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{s}^{(i-1)}-(i+s-2)\alpha b_{s}^{(i-2)}.$

Cette équation aux différences finies peut être intégrée au moyen d’intégrales définies, par la méthode que j’ai donnée dans ma Théorie analytique des probabilités. En faisant, d’après cette méthode,

$b_{s}^{(i)}=\int x^{i}\varphi dx,$

$\varphi$ étant une fonction de $x$, il faut déterminer $\varphi$ et les limites de l’intégrale $\int x^{i}\varphi dx,$ ce que l’on fera de cette manière.

On substituera cette valeur de $b_{s}^{(i)}$ dans l’équation aux différences finies $(a),$ qui devient ainsi

$0=(i-s)\alpha \int x^{i}\varphi dx-(i-1)\left(1+\alpha ^{2}\right)\int x^{i-1}\varphi dx$

$+(i+s-2)\alpha \int x^{i-2}\varphi dx.$

En intégrant par parties, on aura

${\begin{aligned}0=&x^{i-1}\varphi \left[\alpha -\left(1+\alpha ^{2}\right)x+\alpha x^{2}\right]\\&+\int x^{i-2}\varphi dx\left[(s-1)\alpha +\left(1+\alpha ^{2}\right)x-(s+1)\alpha x^{2}\right]\\&-\int x^{i-1}\varphi \left[\alpha -\left(1+\alpha ^{2}\right)x+\alpha x^{2}\right].\end{aligned}}$

Cette équation doit, suivant la méthode que j’ai citée, se partager en deux, en égalant séparément à zéro les termes compris sous le signe intégral, ce qui donne

${\begin{aligned}0=&\varphi .\left[(s-1)\alpha +\left(1+\alpha ^{2}\right)x-(s+1)\alpha x^{2}\right]dx-xd\varphi \left[\alpha -\left(1+\alpha ^{2}\right)x+\alpha ^{2}\right],\\0=&x^{i-1}\varphi .\left[\alpha -\left(1+\alpha ^{2}\right)x+\alpha x^{2}\right].\end{aligned}}$