Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/80

---

CHAPITRE III.

de l’axe de rotation de la terre.

---

8. Soit $a(1+\alpha y_{1})$ le rayon d’une couche du sphéroïde terrestre, l’origine de ce rayon étant supposée au centre de gravité du sphéroïde, $y_{1}$ étant fonction de $a$, du sinus de la latitude, que je désignerai par $\mu _{1},$ et de la longitude, que je désignerai par $\varpi _{1}.$ Je suppose $y_{1}$ développé dans une suite de la forme

$\mathrm {Y_{1}^{(1)}+Y_{1}^{(2)}+Y_{1}^{(3)}} +\ldots ,$

$\mathrm {Y} _{1}^{(i)}$ étant assujetti à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu _{1}^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} _{1}^{(i)}}{\partial \mu _{1}}}\right]}{\partial \mu _{1}}}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} _{1}^{(i)}}{\partial \varpi _{1}^{2}}}{1-\mu _{1}^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Y} _{1}^{(i)}.$

Transportons l’origine des rayons terrestres à un point quelconque qui ne soit éloigné du centre de gravité du sphéroïde que d’une quantité de l’ordre $\alpha$ ; il est facile de voir que cela ne fait qu’augmenter $\mathrm {Y} _{1}^{(1)}$ de la quantité

$(a)\qquad \qquad \mathrm {Q} \mu _{1}+\mathrm {Q} ^{(1)}{\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\sin \varpi _{1}+\mathrm {Q} ^{(2)}{\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\cos \varpi _{1}.$

Concevons par cette nouvelle origine un second axe parallèle au premier, et rapportons-y les variables $\mu _{1}$ et $\varpi _{1}.$ Elles ne différeront des précédentes que de quantités de l’ordre $\alpha \,;$ en négligeant donc les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ les valeurs de $\mathrm {Y_{1}^{(2)},Y_{1}^{(3)}} ,\ldots$ seront les mêmes que les précédentes ; seulement la fonction $\mathrm {Y} _{1}^{(1)}$ sera augmentée de la quantité $(a).$ Nous pourrons ainsi exprimer, avec cette condition, le rayon d’une couche terrestre rapporté à ce second axe par $a(1+\alpha y_{1}).$