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LIVRE PREMIER.

${\frac {1}{t^{i}}}$ est égal au coefficient de $\theta ^{i}$ dans le développement de la fraction ${\frac {1}{1-{\frac {\theta }{t}}}}.$ Si l’on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette fraction par

$(a-z)\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+\ldots +p\theta +q,$

et si dans le numérateur on substitue au lieu de $z$ sa valeur $a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots ,$ on aura

${\frac {b\theta ^{n-1}\left(1-{\frac {\theta }{t}}\right)+c\theta ^{n-2}\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{t^{2}}}\right)+e\theta ^{n-3}\left(1-{\frac {\theta ^{3}}{t^{3}}}\right)+\ldots +q\left(1-{\frac {\theta ^{n}}{t^{n}}}\right)}{\left(1-{\frac {\theta }{t}}\right)\left(a\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+\ldots +p\theta +q-z\theta ^{n}\right)}}\,;$

en divisant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par $1-{\frac {\theta }{t}},$ elle devient

${\frac {\left\{{\begin{aligned}&b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+e\theta ^{n-3}+\ldots +q\\+&{\frac {\theta }{t}}\left(c\theta ^{n-2}+e\theta ^{n-3}+\ldots +q\right)\\+&{\frac {\theta ^{2}}{t^{2}}}\left(e\theta ^{n-3}+\ldots +q\right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&{\frac {\theta ^{n-1}}{t^{n-1}}}q\end{aligned}}\right\}}{a\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+\ldots +p\theta +q-z\theta ^{n}}}$

La recherche du coefficient de $\theta ^{i}$ dans le développement de cette fraction se réduit à déterminer, quel que soit $r,$ le coefficient de $\theta ^{r}$ dans le développement de la fraction

${\frac {1}{a\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+\ldots +p\theta +q-z\theta ^{n}}}.$

Pour cela, considérons généralement la fraction $\mathrm {{\frac {P}{Q}},\ P}$ et $\mathrm {Q}$ étant des fonctions rationnelles et entières de $\theta$, la première étant d’un ordre inférieur à la seconde. Supposons que $\mathrm {Q}$ ait un facteur $\theta -\alpha$ élevé à la