Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/309

121

LIVRE PREMIER.

différences sont des fonctions rationnelles de $s,$ que l’on peut toujours rendre entières en faisant disparaître les dénominateurs. Si l’on désigne, comme ci-dessus, par $y_{s},\,y'_{s},\ldots$ les variables principales de ces équations, et si l’on fait

$y_{s}=\int x^{s}\varphi dx,\qquad y'_{s}=\int x^{s}\varphi 'dx,\qquad \ldots ,$

on aura

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dy_{s}}{ds}}=&\int x^{s}\varphi dx\log x,&{\frac {d^{2}y_{s}}{ds^{2}}}=&\int x^{s}\varphi dx(\log x)^{2},\qquad \ldots ,\\\Delta y_{s}=&\int x^{s}(x-1)\varphi dx,\qquad &\Delta ^{2}y_{s}=&\int x^{s}(x-1)^{2}\varphi dx,\qquad \ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\qquad \quad \ldots ,\\{\frac {dy'_{s}}{ds}}=&\int x^{s}\varphi 'dx\log x,&\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots .\end{alignedat}}$

Les équations proposées prendront ainsi les formes suivantes :

$\mathrm {S} =\int x^{s}zdx,\qquad \mathrm {S} '=\int x^{s}z'dx,\qquad \ldots .$

En les traitant par la méthode précédente, on déterminera les valeurs de $\varphi ,\varphi ',\ldots$ en fonction de $x$, et les limites des intégrales $\int x^{s}\varphi dx,$$\int x^{s}\varphi 'dx,\ldots .$

En faisant

$y_{s}=\int c^{-sx}\varphi dx,\qquad y'_{s}=\int c^{-sx}\varphi 'dx,\qquad \ldots ,$

on parviendrait à des équations semblables. Dans plusieurs circonstances, ces formes de $y_{s},y'_{s},\ldots$ seront plus commodes que les précédentes.

31. La principale difficulté que présente l’application de la méthode précédente consiste dans l’intégration des équations différentielles linéaires qui déterminent $\varphi ,\varphi ',\varphi '',\ldots$ en $x.$ Les degrés de ces équations ne dépendent point de ceux des équations aux différences en $y_{s},y'_{s},\ldots \,;$ ils dépendent uniquement des puissances les plus élevées de $s$ dans leurs coefficients. En ne considérant donc qu’une seule variable $y_{s}$, l’équation différentielle en $\varphi$ sera d’un degré égal au plus haut exposant de $s$ dans les coefficients de l’équation aux différences en $y_{s}.$ L’é-